Calcule as seguintes integrais, utilizando o método de frações parciais:
\int \frac{x+2}{x^{2}+3 x-4} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
\int \frac{x+2}{x^{2}+3x-4}\,dx
usando o método de frações parciais. Aqui estamos integrando uma função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador, então podemos decompor em frações simples.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador x^{2}+3x-4. Procuramos dois números cujo produto seja -4 e cuja soma seja 3. Esses números são 4 e -1. Logo,
x^{2}+3x-4 = (x+4)(x-1).

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{x+2}{(x+4)(x-1)} = \frac{A}{x+4} + \frac{B}{x-1}.
Multiplicando ambos os lados por (x+4)(x-1), obtemos
x+2 = A(x-1) + B(x+4).

Passo 4

Expandimos e comparamos coeficientes.
A expansão dá
A(x-1) + B(x+4) = (A+B)\,x + (4B - A).
Para igualar a x+2, exigimos
\begin{cases} A + B = 1,\\\\ 4B - A = 2. \end{cases}
Resolvendo esse sistema:
A = 1 - B, \quad 4B - (1 - B) = 2 \;\Rightarrow\; 5B = 3 \;\Rightarrow\; B = \tfrac{3}{5}, \quad A = \tfrac{2}{5}.

Passo 5

Substituindo A e B na integral, temos
\int \frac{x+2}{(x+4)(x-1)}\,dx = \int \Bigl(\tfrac{2}{5}\,\frac{1}{x+4} + \tfrac{3}{5}\,\frac{1}{x-1}\Bigr)\,dx.
Agora integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x+4}\,dx = \ln\lvert x+4\rvert, \quad \int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln\lvert x-1\rvert.

Passo 6

Portanto, a antiderivada fica
\tfrac{2}{5}\,\ln\lvert x+4\rvert \;+\;\tfrac{3}{5}\,\ln\lvert x-1\rvert + C.

Resposta

\int \frac{x+2}{x^{2}+3x-4}\,dx = \tfrac{2}{5}\,\ln\lvert x+4\rvert + \tfrac{3}{5}\,\ln\lvert x-1\rvert + C.

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