Calcule as seguintes integrais, utilizando o método de frações parciais:
\int \frac{5 x+4}{(x-3)(x-7)} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{5x+4}{(x-3)(x-7)}\,dx
usando frações parciais. O conteúdo principal é a decomposição em frações simples de uma função racional cujo denominador é o produto de dois fatores lineares.

Passo 2

Assumimos a decomposição
\frac{5x+4}{(x-3)(x-7)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x-7}.
Multiplicando ambos os lados por (x-3)(x-7), obtemos a identidade
5x+4 = A(x-7) + B(x-3).

Passo 3

Expandindo o lado direito e igualando coeficientes de x\) e do termo constante, temos \[A(x-7) + B(x-3) = (A+B)x + (-7A - 3B)
logo o sistema
\begin{cases} A + B = 5,\\\\ -7A - 3B = 4. \end{cases}
Da primeira equação (B = 5 - A]. Substituindo na segunda:
-7A - 3(5 - A) = 4 \quad\Longrightarrow\quad -7A -15 +3A = 4 \quad\Longrightarrow\quad -4A = 19 \quad\Longrightarrow\quad A = -\frac{19}{4},
e assim
B = 5 - \bigl(-\tfrac{19}{4}\bigr) = \frac{20+19}{4} = \frac{39}{4}.

Passo 4

Reescrevendo a integral com os valores de A e B:
\int \frac{5x+4}{(x-3)(x-7)}\,dx = \int \biggl(-\frac{19}{4}\cdot\frac{1}{x-3} + \frac{39}{4}\cdot\frac{1}{x-7}\biggr)\,dx.
Integramos cada termo:
-\frac{19}{4}\int \frac{dx}{x-3} + \frac{39}{4}\int \frac{dx}{x-7} = -\frac{19}{4}\ln\bigl|x-3\bigr| + \frac{39}{4}\ln\bigl|x-7\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{5x+4}{(x-3)(x-7)}\,dx = -\frac{19}{4}\ln\bigl|x-3\bigr| + \frac{39}{4}\ln\bigl|x-7\bigr| + C.

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