Calcule as seguintes integrais, utilizando o método de frações parciais:
\int \frac{x}{x^{2}+5 x+6} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x}{x^{2} + 5x + 6}\,dx
usando o método de frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador e expressar a função racional como soma de termos mais simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador quadrático:
x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{x}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+2)(x+3), obtemos
x = A(x+3) + B(x+2) = (A+B)\,x + (3A + 2B).
Comparando coeficientes:
A + B = 1,
3A + 2B = 0.
Da primeira equação A = 1 - B. Substituindo na segunda:
3(1 - B) + 2B = 0 \;\Longrightarrow\; 3 - 3B + 2B = 0 \;\Longrightarrow\; B = 3,
A = 1 - 3 = -2.

Passo 5

Substituindo A e B na integral:
\int \frac{x}{(x+2)(x+3)}\,dx = \int \Bigl(-2\,\frac{1}{x+2} + 3\,\frac{1}{x+3}\Bigr)\,dx = -2\int \frac{dx}{x+2} + 3\int \frac{dx}{x+3}.
Integrando:
-2\ln\lvert x+2\rvert + 3\ln\lvert x+3\rvert + C.

Resposta

-2\ln\lvert x+2\rvert + 3\ln\lvert x+3\rvert + C

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