Calcule as seguintes integrais, utilizando o método de frações parciais:
\int \frac{x+1}{x^{2}-2} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{x+1}{x^{2}-2}\,dx
utilizando o método de frações parciais. Vamos decompor a função racional em parcelas mais simples que geram logaritmos na integração.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador e montamos a decomposição:
x^{2}-2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}),
portanto queremos encontrar A e B tais que
\frac{x+1}{x^{2}-2} \;=\; \frac{A}{x - \sqrt{2}} \;+\; \frac{B}{x + \sqrt{2}}.

Passo 3

Multiplicando por (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) obtemos
x+1 = A\,(x + \sqrt{2}) \;+\; B\,(x - \sqrt{2}).
Para achar A e B é rápido usar x = \pm\sqrt{2}:
x = \sqrt{2} \;\Rightarrow\; \sqrt{2}+1 = A\,(2\sqrt{2}) \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}.
x = -\sqrt{2} \;\Rightarrow\; -\sqrt{2}+1 = B\,(-2\sqrt{2}) \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{1-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}.

Passo 4

Com A e B em mãos, separamos a integral:
\int \frac{x+1}{x^{2}-2}\,dx = \int \frac{A}{x - \sqrt{2}}\,dx \;+\; \int \frac{B}{x + \sqrt{2}}\,dx.
Cada termo é um logaritmo:
\int \frac{A}{x - \sqrt{2}}\,dx = A \,\ln\lvert x - \sqrt{2}\rvert, \quad \int \frac{B}{x + \sqrt{2}}\,dx = B \,\ln\lvert x + \sqrt{2}\rvert.
Somando e reorganizando, obtemos a forma final em função de logaritmos de combinações de x^2-2 e quocientes \frac{x-\sqrt2}{x+\sqrt2}.

Resposta

\frac{1}{2}\,\ln\lvert x^{2}-2\rvert \;+\;\frac{1}{2\sqrt{2}}\;\ln\Bigl\lvert\frac{x - \sqrt{2}}{x + \sqrt{2}}\Bigr\rvert \;+\,C.

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