Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica:
\int \frac{1}{\sqrt{x(3 x+5)}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{1}{\sqrt{x(3x+5)}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Aqui temos a raiz de um produto de fatores lineares em x, então vamos escolher uma substituição que transforme x(3x+5) num quadrado de função trigonométrica.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \frac{5}{3}\tan^2\theta.
Então
dx = \frac{5}{3}\cdot 2\tan\theta\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta = \frac{10}{3}\,\tan\theta\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta
e calculamos
3x+5 = 3\cdot\frac{5}{3}\tan^2\theta +5 = 5\tan^2\theta+5 =5\operatorname{sec}^2\theta.
Logo
x(3x+5) = \frac{5}{3}\tan^2\theta\;\cdot\;5\operatorname{sec}^2\theta = \frac{25}{3}\,\tan^2\theta\operatorname{sec}^2\theta,
e assim
\sqrt{x(3x+5)} = \frac{5}{\sqrt{3}}\,\tan\theta\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituindo tudo na integral:
\int \frac{1}{\sqrt{x(3x+5)}}\,dx = \int \frac{1}{\frac{5}{\sqrt{3}}\tan\theta\operatorname{sec}\theta} \;\cdot\;\frac{10}{3}\tan\theta\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta.
Simplificando fator a fator, \tan\theta e parte de \operatorname{sec}\theta cancelam, e obtemos
\int \frac{10}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{5}\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Sabemos que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Portanto, em \theta:
\int \frac{1}{\sqrt{x(3x+5)}}\,dx = \frac{2\sqrt{3}}{3}\,\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 4

Voltando para x, da substituição \displaystyle x=\tfrac{5}{3}\tan^2\theta temos
\tan\theta = \sqrt{\frac{3x}{5}}, \qquad \operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^2\theta} = \sqrt{\frac{3x+5}{5}}.
Assim
\operatorname{sec}\theta+\tan\theta = \frac{\sqrt{3x+5}+\sqrt{3x}}{\sqrt{5}}
e absorvendo o \sqrt{5} na constante de integração, ficamos com

Resposta

\int \frac{1}{\sqrt{x(3x+5)}}\,dx = \frac{2\sqrt{3}}{3}\,\ln\bigl|\sqrt{3x+5}+\sqrt{3x}\bigr| + C.

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