Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica:
\int_{1}^{2} \frac{(3 x+5) d x}{\sqrt{x(2 x-1)}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2}\frac{3x+5}{\sqrt{x(2x-1)}}\,dx
usando substituição trigonométrica. Note que o radicando x(2x-1) é uma expressão quadrática em x, o que sugere uma substituição do tipo
x = \tfrac12\operatorname{sec}^2\theta,
de modo a transformar \sqrt{x(2x-1)} em produto de funções trigonométricas.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \tfrac12\operatorname{sec}^2\theta.
Então
dx = \operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta,
e
2x - 1 = \operatorname{sec}^2\theta - 1 = \tan^2\theta,
portanto
x(2x-1) = \tfrac12\operatorname{sec}^2\theta\;\tan^2\theta \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x(2x-1)} = \frac{1}{\sqrt2}\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta.
Os limites em x viram em \theta:
x=1\;\Rightarrow\;\operatorname{sec}^2\theta=2\;\Rightarrow\;\theta=\tfrac\pi4, \quad x=2\;\Rightarrow\;\operatorname{sec}^2\theta=4\;\Rightarrow\;\theta=\tfrac\pi3.

Passo 3

Substituindo tudo na integral,
\int_{1}^{2}\frac{3x+5}{\sqrt{x(2x-1)}}\,dx = \int_{\theta=\pi/4}^{\pi/3} \frac{3\bigl(\tfrac12\operatorname{sec}^2\theta\bigr)+5}{\tfrac{1}{\sqrt2}\,\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta} \;\bigl(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr).
No numerador fica \tfrac32\operatorname{sec}^2\theta +5. Ao simplificar com \operatorname{sec}\theta\tan\theta do denominador, obtemos
\int_{\pi/4}^{\pi/3} \sqrt2\;\bigl(\tfrac32\operatorname{sec}^2\theta +5\bigr)\,d\theta = \sqrt2\int_{\pi/4}^{\pi/3}\Bigl(\tfrac32\operatorname{sec}^2\theta +5\Bigr)\,d\theta.

Passo 4

Integramos em \theta:
\sqrt2\int\Bigl(\tfrac32\operatorname{sec}^2\theta +5\Bigr)\,d\theta = \sqrt2\Bigl(\tfrac32\tan\theta +5\theta\Bigr)+C.
Para os limites \theta=\pi/4 a \theta=\pi/3, definimos
F(\theta)=\sqrt2\Bigl(\tfrac32\tan\theta +5\theta\Bigr).

Passo 5

Calculamos F(\pi/3) e F(\pi/4):
\tan\!\bigl(\tfrac\pi3\bigr)=\sqrt3,\quad \tan\!\bigl(\tfrac\pi4\bigr)=1.
Logo
F\bigl(\tfrac\pi3\bigr) = \sqrt2\Bigl(\tfrac32\sqrt3 +5\cdot\tfrac\pi3\Bigr) = \frac{3\sqrt6}{2} + \frac{5\sqrt2\,\pi}{3},
F\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = \sqrt2\Bigl(\tfrac32\cdot1 +5\cdot\tfrac\pi4\Bigr) = \frac{3\sqrt2}{2} + \frac{5\sqrt2\,\pi}{4}.
A integral definida vale
F\bigl(\tfrac\pi3\bigr)-F\bigl(\tfrac\pi4\bigr) = \Bigl(\tfrac{3\sqrt6}{2}-\tfrac{3\sqrt2}{2}\Bigr) +\Bigl(\tfrac{5\sqrt2\,\pi}{3}-\tfrac{5\sqrt2\,\pi}{4}\Bigr).
Note que \tfrac{5\sqrt2\,\pi}{3}-\tfrac{5\sqrt2\,\pi}{4}=\tfrac{5\sqrt2\,\pi}{12}.

Resposta

\boxed{ \int_{1}^{2}\frac{3x+5}{\sqrt{x(2x-1)}}\,dx = \frac{3}{2}\bigl(\sqrt6 - \sqrt2\bigr) \;+\;\frac{5\sqrt2\,\pi}{12}. }

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