Calcule as seguintes integrais, utilizando o método da Substituição Trigonométrica:
\int \frac{d x}{x \sqrt{9-\ln ^{2} x}}

Passo 1

O objetivo é calcular
\int \frac{dx}{x\,\sqrt{9 - (\ln x)^2}}
usando substituição trigonométrica. Primeiro vamos simplificar a dependência de x no logaritmo usando a mudança de variável t = \ln x, depois aplicamos a substituição trigonométrica em t.

Passo 2

Fazendo t = \ln x temos
dt = \frac{dx}{x}
e portanto
\frac{dx}{x\,\sqrt{9 - (\ln x)^2}} = \frac{dt}{\sqrt{9 - t^2}}.
A integral original passa a ser
\int \frac{dt}{\sqrt{9 - t^2}}.

Passo 3

Reconhecemos a forma padrão
\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}}
que leva à substituição trigonométrica
u = a\sin\theta,\quad du = a\cos\theta\,d\theta,\quad \sqrt{a^2 - u^2} = a\cos\theta.
Aqui u = t e a = 3, então fazemos
t = 3\sin\theta,\quad dt = 3\cos\theta\,d\theta,\quad \sqrt{9 - t^2} = 3\cos\theta.

Passo 4

Substituindo em \int dt/\sqrt{9 - t^2} obtemos
\int \frac{dt}{\sqrt{9 - t^2}} = \int \frac{3\cos\theta\,d\theta}{3\cos\theta} = \int d\theta = \theta + C.

Passo 5

Agora voltamos a t. Da substituição t = 3\sin\theta temos
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{t}{3}\bigr).
Como t = \ln x, concluímos
\int \frac{dx}{x\,\sqrt{9 - (\ln x)^2}} = \arcsin\!\Bigl(\frac{\ln x}{3}\Bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \arcsin\!\bigl(\tfrac{\ln x}{3}\bigr) + C

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