Calcule os seguintes limites:
b) \quad \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\cos t}{1-\operatorname{sen} t}

Passo 1

O enunciado pede claramente o cálculo do seguinte limite:
\lim_{t\to 0}\frac{\cos t}{1-\operatorname{sen} t}.
Informações fornecidas pelo enunciado e valores básicos que servem de referência:
  • A variável é t e a aproximação é quando t tende a 0.
  • As funções trigonométricas envolvidas são \cos t e \operatorname{sen} t.
  • Os valores no ponto t=0 são \cos 0 = 1 e \operatorname{sen} 0 = 0.

Passo 2

Verificação rápida por substituição direta: se a função que está sendo limitada for contínua no ponto e o denominador não for zero no ponto, então o limite é simplesmente o valor da função no ponto. Vamos checar esses fatos para este caso.
Explicando continuidade de forma simples: funções \operatorname{sen} t e \cos t são contínuas em t=0, isto é, seus limites quando t\to0 são exatamente seus valores no ponto. Portanto se 1-\operatorname{sen} 0\neq 0, podemos substituir t=0 diretamente.

Passo 3

Avaliação direta no ponto t=0. Substituindo os valores conhecidos:
\frac{\cos 0}{1-\operatorname{sen} 0}=\frac{1}{1-0}=\frac{1}{1}=1.
Como o denominador em t=0 vale 1\neq 0, a substituição direta é válida e já nos dá o limite igual a 1.

Passo 4

Vou mostrar também um método algébrico que é útil quando o denominador tende a zero (aqui não aconteceu, mas o método é uma boa ferramenta em geral). Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado 1+\operatorname{sen} t:
\frac{\cos t}{1-\operatorname{sen} t}\cdot\frac{1+\operatorname{sen} t}{1+\operatorname{sen} t} =\frac{\cos t\,(1+\operatorname{sen} t)}{1-\operatorname{sen}^2 t}.
Aqui usei a operação básica de multiplicar frações (multiplica-se cima com cima e baixo com baixo).

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica para simplificar o denominador:
1-\operatorname{sen}^2 t=\cos^2 t.
Assim a expressão fica
\frac{\cos t\,(1+\operatorname{sen} t)}{\cos^2 t}=\frac{1+\operatorname{sen} t}{\cos t},
desde que \cos t\neq 0. Explicando: dividir por \cos^2 t é permitido em um entorno de t=0 porque \cos 0=1 e, por continuidade, \cos t é próximo de 1 para t perto de zero (logo não é zero).

Passo 6

Agora tomamos o limite da forma simplificada. Como \operatorname{sen} t\to 0 e \cos t\to 1 quando t\to 0, temos
\lim_{t\to 0}\frac{1+\operatorname{sen} t}{\cos t}=\frac{1+0}{1}=1.
Isso confirma o resultado obtido por substituição direta.

Passo 7

Comentário didático extra (intuito de fixar a ideia): outra maneira de ver rapidamente é lembrar que para t muito pequeno \operatorname{sen} t é muito pequeno (aprox. \operatorname{sen} t\approx t) e \cos t\approx 1; então a expressão fica aproximadamente \dfrac{1}{1-\text{pequeno}}, que tende a 1. Mas a prova algébrica acima é mais direta e rigorosa neste caso.

Resposta

1

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