Calcule os seguintes limites:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede claramente o cálculo do seguinte limite:
Informações fornecidas pelo enunciado e valores básicos que servem de referência:
- A variável é
e a aproximação é quando tende a . - As funções trigonométricas envolvidas são
e . - Os valores no ponto
são e .
Passo 2
Verificação rápida por substituição direta: se a função que está sendo limitada for contínua no ponto e o denominador não for zero no ponto, então o limite é simplesmente o valor da função no ponto. Vamos checar esses fatos para este caso.
Explicando continuidade de forma simples: funções
e
são contínuas em
, isto é, seus limites quando
são exatamente seus valores no ponto. Portanto se
, podemos substituir
diretamente.
Passo 3
Avaliação direta no ponto
. Substituindo os valores conhecidos:
Como o denominador em
vale
, a substituição direta é válida e já nos dá o limite igual a
.
Passo 4
Vou mostrar também um método algébrico que é útil quando o denominador tende a zero (aqui não aconteceu, mas o método é uma boa ferramenta em geral). Multiplica-se numerador e denominador pelo conjugado
:
Aqui usei a operação básica de multiplicar frações (multiplica-se cima com cima e baixo com baixo).
Passo 5
Usar a identidade trigonométrica para simplificar o denominador:
Assim a expressão fica
desde que
. Explicando: dividir por
é permitido em um entorno de
porque
e, por continuidade,
é próximo de
para
perto de zero (logo não é zero).
Passo 6
Agora tomamos o limite da forma simplificada. Como
e
quando
, temos
Isso confirma o resultado obtido por substituição direta.
Passo 7
Comentário didático extra (intuito de fixar a ideia): outra maneira de ver rapidamente é lembrar que para
muito pequeno
é muito pequeno (aprox.
) e
; então a expressão fica aproximadamente
, que tende a
. Mas a prova algébrica acima é mais direta e rigorosa neste caso.