Calcule os seguintes limites:
c. \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+2 x-3}{x^{2}-3 x+2}

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-3x+2}.
Informações dadas/observações imediatas:
  • A expressão é uma função racional (uma fração de polinômios).
  • Ao substituir x=1 diretamente tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero: o numerador vale 0 e o denominador vale 0. Logo obtemos a forma indeterminada \frac{0}{0}.
  • Precisamos eliminar a indeterminação para avaliar o limite.

Passo 2

Entendendo a indeterminação \frac{0}{0}: quando uma expressão dá \frac{0}{0} ao substituir o ponto, isso significa que a expressão não pode ser avaliada por substituição direta — pode haver um fator comum que anula essa indeterminação (situação de descontinuidade removível) ou pode ser uma descontinuidade essencial. Um método simples e elementar para resolver \frac{0}{0} em funções racionais é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns (quando possível).

Passo 3

Vamos fatorar o numerador \;x^{2}+2x-3\;. Para fatorar um quadrático x^{2}+bx+c procuramos dois números que multiplicados dão c e somados dão b.
Aqui b=2 e c=-3. Os números que funcionam são 3 e -1, pois 3\cdot(-1)=-3 e 3+(-1)=2.
Portanto a fatoração é
x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1).

Passo 4

Agora fatoramos o denominador \;x^{2}-3x+2\;. Aqui b=-3 e c=2. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3: são -1 e -2, pois (-1)\cdot(-2)=2 e (-1)+(-2)=-3.
Assim
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).

Passo 5

Substituindo as fatorações na fração original obtemos (em forma exibida)
\frac{x^{2}+2x-3}{x^{2}-3x+2}=\frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-2)}.
Observação importante: essa igualdade vale para todos os x onde os polinômios estão definidos e onde não dividimos por zero; em particular o fator (x-1) aparece em numerador e denominador, e podemos cancelar esse fator desde que x\neq 1. Para o cálculo do limite isso é permitido porque o limite considera valores de x que se aproximam de 1, mas não necessariamente iguais a 1.

Passo 6

Cancelando o fator comum (x-1) (válido para x\neq 1) obtemos a função simplificada
\frac{(x+3)(x-1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+3}{x-2}\quad\text{para }x\neq 1.
Esta nova função coincide com a original em todos os pontos próximos de 1 (exceto em x=1 onde a original não está definida). Assim o limite quando x\to 1 da função original é igual ao limite da função simplificada.

Passo 7

Agora avaliamos o limite fazendo a substituição direta na função simplificada (já que não há mais indeterminação):
\lim_{x\to 1}\frac{x+3}{x-2}=\frac{1+3}{1-2}=\frac{4}{-1}=-4.
Explanação: após simplificar, o denominador em x=1 vale -1 (não zero), então a função é contínua naquele ponto na forma simplificada, permitindo a substituição direta.

Passo 8

Interpretação final: a indeterminação \frac{0}{0} foi removida ao cancelar o fator comum (x-1). Isso mostra que a descontinuidade em x=1 é removível e o limite existe e vale -4. (A função original está indefinida exatamente em x=1, mas o limite a partir dos dois lados existe e é -4.)

Resposta

-4

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