Calcule os seguintes limites:
c.
c.
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Informações dadas/observações imediatas:
- A expressão é uma função racional (uma fração de polinômios).
- Ao substituir
diretamente tanto o numerador quanto o denominador ficam iguais a zero: o numerador vale e o denominador vale . Logo obtemos a forma indeterminada . - Precisamos eliminar a indeterminação para avaliar o limite.
Passo 2
Entendendo a indeterminação
: quando uma expressão dá
ao substituir o ponto, isso significa que a expressão não pode ser avaliada por substituição direta — pode haver um fator comum que anula essa indeterminação (situação de descontinuidade removível) ou pode ser uma descontinuidade essencial. Um método simples e elementar para resolver
em funções racionais é fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns (quando possível).
Passo 3
Vamos fatorar o numerador
. Para fatorar um quadrático
procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
.
Aqui e
. Os números que funcionam são
e
, pois
e
.
Portanto a fatoração é
Aqui
Portanto a fatoração é
Passo 4
Agora fatoramos o denominador
. Aqui
e
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
: são
e
, pois
e
.
Assim
Assim
Passo 5
Substituindo as fatorações na fração original obtemos (em forma exibida)
Observação importante: essa igualdade vale para todos os
onde os polinômios estão definidos e onde não dividimos por zero; em particular o fator
aparece em numerador e denominador, e podemos cancelar esse fator desde que
. Para o cálculo do limite isso é permitido porque o limite considera valores de
que se aproximam de
, mas não necessariamente iguais a
.
Passo 6
Cancelando o fator comum
(válido para
) obtemos a função simplificada
Esta nova função coincide com a original em todos os pontos próximos de
(exceto em
onde a original não está definida). Assim o limite quando
da função original é igual ao limite da função simplificada.
Passo 7
Agora avaliamos o limite fazendo a substituição direta na função simplificada (já que não há mais indeterminação):
Explanação: após simplificar, o denominador em
vale
(não zero), então a função é contínua naquele ponto na forma simplificada, permitindo a substituição direta.
Passo 8
Interpretação final: a indeterminação
foi removida ao cancelar o fator comum
. Isso mostra que a descontinuidade em
é removível e o limite existe e vale
. (A função original está indefinida exatamente em
, mas o limite a partir dos dois lados existe e é
.)