Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=\frac{1}{x^{2}-1};

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde f(x)=\frac{1}{x^{2}-1}.\n
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}-1}.\n
  • O limite é em termos de h quando h\to 0, ou seja, é o quociente incremental clássico usado para obter a derivada de f no ponto x.\n
  • Atenção: f(x) não está definida quando x^{2}-1=0, isto é, em x=\pm 1. Portanto devemos ter cuidado com esses pontos porque a expressão original do quociente usa f(x).

Passo 2

Vamos recordar a ideia básica que usamos aqui (a mini-aulinha): o limite pedido é exatamente a definição de derivada de f em x. A estratégia mais direta é calcular simbolicamente a diferença f(x+h)-f(x), dividir por h e depois fazer h\to 0.\n
Também vamos usar duas propriedades simples de limite que você já conhece (mas eu explico): se uma expressão se escreve como razão de duas funções que convergem para números finitos com denominador não nulo, o limite do quociente é o quociente dos limites. Isso vale porque operações algébricas com limites contínuos funcionam bem. Aqui, para poder aplicar isso ao final, precisamos que o denominador resultante não zere quando h\to 0 — daí a exigência x\neq\pm1.

Passo 3

Calculemos f(x+h)-f(x) explicitamente. Escrevendo as frações com denominador comum:
f(x+h)-f(x)=\frac{1}{(x+h)^{2}-1}-\frac{1}{x^{2}-1}.
Para somar/subtrair frações, colocamos em um único denominador:
f(x+h)-f(x)=\frac{(x^{2}-1)-\big((x+h)^{2}-1\big)}{\big((x+h)^{2}-1\big)\big(x^{2}-1\big)}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador passo a passo. Primeiro expandimos (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Então
(x^{2}-1)-\big((x+h)^{2}-1\big)=x^{2}-1-\big(x^{2}+2xh+h^{2}-1\big).
Ao distribuir o sinal menos e cancelar x^{2} e -1 obtemos
x^{2}-1-x^{2}-2xh-h^{2}+1 = -2xh-h^{2}.
Portanto
f(x+h)-f(x)=\frac{-2xh-h^{2}}{\big((x+h)^{2}-1\big)\big(x^{2}-1\big)}.

Passo 5

Agora formamos o quociente incremental dividindo por h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-2xh-h^{2}}{h\;\big((x+h)^{2}-1\big)\big(x^{2}-1\big)}.
Fatoramos h no numerador -2xh-h^{2}=h(-2x-h) e cancelamos h (para h\neq 0, mas o limite olha para h próximo de zero, então esse cancelamento é legítimo para manipular a expressão do quociente):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-2x-h}{\big((x+h)^{2}-1\big)\big(x^{2}-1\big)}.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Observe que (x+h)^{2}-1 é contínuo em h, então quando h\to 0 temos (x+h)^{2}-1\to x^{2}-1. Pelo teorema das operações com limites:
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\lim_{h\to 0}(-2x-h)}{\lim_{h\to 0}\big((x+h)^{2}-1\big)\;\big(x^{2}-1\big)} = \frac{-2x}{(x^{2}-1)(x^{2}-1)}.
Isso é válido desde que o denominador no limite não seja zero, ou seja, desde que x^{2}-1\neq 0 (novamente: x\neq\pm1).

Passo 7

Simplificando o denominador:
\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}}.
Esse é o valor do limite (a derivada) para qualquer x tal que x\neq\pm1.\n
Como verificação rápida (opcional): escrevendo f(x)=(x^{2}-1)^{-1} e aplicando a regra da cadeia/derivada de potência você obteria exatamente
f'(x)=-1\cdot(x^{2}-1)^{-2}\cdot 2x=\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}},
o que confirma o resultado.

Resposta

\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-2x}{(x^{2}-1)^{2}} para x\neq \pm 1.\n
Não existe (a expressão não está definida) para x=\pm 1.

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