Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
onde
.\n
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A função é
.\n - O limite é em termos de
quando , ou seja, é o quociente incremental clássico usado para obter a derivada de no ponto .\n - Atenção:
não está definida quando , isto é, em . Portanto devemos ter cuidado com esses pontos porque a expressão original do quociente usa .
Passo 2
Vamos recordar a ideia básica que usamos aqui (a mini-aulinha): o limite pedido é exatamente a definição de derivada de
em
. A estratégia mais direta é calcular simbolicamente a diferença
, dividir por
e depois fazer
.\n
Também vamos usar duas propriedades simples de limite que você já conhece (mas eu explico): se uma expressão se escreve como razão de duas funções que convergem para números finitos com denominador não nulo, o limite do quociente é o quociente dos limites. Isso vale porque operações algébricas com limites contínuos funcionam bem. Aqui, para poder aplicar isso ao final, precisamos que o denominador resultante não zere quando — daí a exigência
.
Também vamos usar duas propriedades simples de limite que você já conhece (mas eu explico): se uma expressão se escreve como razão de duas funções que convergem para números finitos com denominador não nulo, o limite do quociente é o quociente dos limites. Isso vale porque operações algébricas com limites contínuos funcionam bem. Aqui, para poder aplicar isso ao final, precisamos que o denominador resultante não zere quando
Passo 3
Calculemos
explicitamente. Escrevendo as frações com denominador comum:
Para somar/subtrair frações, colocamos em um único denominador:
Passo 4
Agora simplificamos o numerador passo a passo. Primeiro expandimos
:
Então
Ao distribuir o sinal menos e cancelar
e
obtemos
Portanto
Passo 5
Agora formamos o quociente incremental dividindo por
:
Fatoramos
no numerador
e cancelamos
(para
, mas o limite olha para
próximo de zero, então esse cancelamento é legítimo para manipular a expressão do quociente):
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Observe que
é contínuo em
, então quando
temos
. Pelo teorema das operações com limites:
Isso é válido desde que o denominador no limite não seja zero, ou seja, desde que
(novamente:
).
Passo 7
Simplificando o denominador:
Esse é o valor do limite (a derivada) para qualquer
tal que
.\n
Como verificação rápida (opcional): escrevendo e aplicando a regra da cadeia/derivada de potência você obteria exatamente
Como verificação rápida (opcional): escrevendo
o que confirma o resultado.
Resposta
Não existe (a expressão não está definida) para