Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=x^{3}+x^{2}+1;

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
onde foi dada a função f por
f(x)=x^{3}+x^{2}+1.
Informações relevantes: x é uma variável que permanece fixa enquanto o limite é tomado em relação a h; o objetivo é simplificar a expressão do quociente e avaliar seu comportamento quando h tende a 0.

Passo 2

Primeiro precisamos escrever f(x+h). Substituímos x por x+h em f:
f(x+h)=(x+h)^{3}+(x+h)^{2}+1.
Agora vamos desenvolver cada potência usando a expansão do binômio, passo a passo.

Passo 3

Expandimos as potências:
(x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3},
(x+h)^{2}=x^{2}+2x h+h^{2}.
Somando essas expansões e o +1 obtemos
f(x+h)=x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}+x^{2}+2x h+h^{2}+1.

Passo 4

Agora calculamos o numerador do quociente f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=x^{3}+x^{2}+1, subtraímos termo a termo:
\begin{aligned} f(x+h)-f(x)&=\big(x^{3}+3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}+x^{2}+2x h+h^{2}+1\big)\\\ &\quad -\big(x^{3}+x^{2}+1\big). \end{aligned}
Cancelam-se x^{3}, x^{2} e 1, restando
f(x+h)-f(x)=3x^{2}h+3x h^{2}+h^{3}+2x h+h^{2}.

Passo 5

Fatoramos h no numerador (isso é útil porque o quociente tem divisão por h):
f(x+h)-f(x)=h\big(3x^{2}+3x h+h^{2}+2x+h\big).
Dividindo pelo h (válido para h\neq 0, o que basta para considerar o limite) temos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^{2}+3x h+h^{2}+2x+h.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0. Usamos que limites somam-se termo a termo e que \lim_{h\to 0} h=0, \lim_{h\to 0} h^{2}=0. Portanto
\lim_{h\to 0}\big(3x^{2}+3x h+h^{2}+2x+h\big)=3x^{2}+3x\cdot 0+0+2x+0.
Isso dá
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=3x^{2}+2x.

Passo 7

Interpretação útil para a prova: o limite que calculamos é exatamente a taxa de variação instantânea de f em x (o que se aprende como derivada). Para polinômios existe uma regra prática: \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Aplicando essa regra rápido em prova: \frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}, \frac{d}{dx}x^{2}=2x, \frac{d}{dx}1=0; somando obtém-se o mesmo resultado 3x^{2}+2x. Um exemplo extra: se g(x)=x^{4}+5x, então \frac{d}{dx}g(x)=4x^{3}+5.

Resposta

\,3x^{2}+2x\,

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