Calcule os seguintes limites, caso existam.
, onde
;
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
onde foi dada a função
por
Informações relevantes:
é uma variável que permanece fixa enquanto o limite é tomado em relação a
; o objetivo é simplificar a expressão do quociente e avaliar seu comportamento quando
tende a
.
Passo 2
Primeiro precisamos escrever
. Substituímos
por
em
:
Agora vamos desenvolver cada potência usando a expansão do binômio, passo a passo.
Passo 3
Expandimos as potências:
Somando essas expansões e o
obtemos
Passo 4
Agora calculamos o numerador do quociente
. Lembrando que
, subtraímos termo a termo:
Cancelam-se
,
e
, restando
Passo 5
Fatoramos
no numerador (isso é útil porque o quociente tem divisão por
):
Dividindo pelo
(válido para
, o que basta para considerar o limite) temos
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Usamos que limites somam-se termo a termo e que
,
. Portanto
Isso dá
Passo 7
Interpretação útil para a prova: o limite que calculamos é exatamente a taxa de variação instantânea de
em
(o que se aprende como derivada). Para polinômios existe uma regra prática:
. Aplicando essa regra rápido em prova:
,
,
; somando obtém-se o mesmo resultado
. Um exemplo extra: se
, então
.