Calcule os seguintes limites. Caso eles não existam, explique a razão.
\lim _{v \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}(v)}{2 v}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando v tende a zero da função
\frac{\operatorname{tg}(v)}{2v}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é a tangente de v, escrita como \operatorname{tg}(v) (ou \tan v).
  • A variável v tende para 0.
  • O objetivo é determinar o valor do limite ou explicar por que ele não existe.

Passo 2

Planejamento (breve e só para orientar a resolução): uma maneira simples é reescrever \tan v em termos de \sin v e \cos v e usar o limite clássico
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Também usarei propriedades básicas de limites (produto e quociente): se \lim f=\ell e \lim g=m com m\neq0, então \lim (f\cdot g)=\ell m e \lim (f/g)=\ell/m. Não vou assumir a validade do limite \sin x/x sem justificar — vou dar a prova clássica por desigualdades (teorema do aperto / squeeze).

Passo 3

Reescrevendo a expressão usando \tan v=\dfrac{\sin v}{\cos v}:
\frac{\operatorname{tg}(v)}{2v}=\frac{\sin v}{\cos v}\cdot\frac{1}{2v} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin v}{v}\cdot\frac{1}{\cos v}.
Logo o limite pedido pode ser escrito como
\lim_{v\to 0}\frac{\operatorname{tg}(v)}{2v} =\frac{1}{2}\cdot\lim_{v\to 0}\frac{\sin v}{v}\cdot\lim_{v\to 0}\frac{1}{\cos v},
desde que os limites parciais existam (e \lim_{v\to0}\cos v\neq0, para podermos tomar o inverso).

Passo 4

Provar que \displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 (prova clássica por desigualdades, válida para x em (0,\tfrac{\pi}{2}); a extensão para x\to 0 por ambos os lados vem da paridade de \sin x / x).
Considere o círculo trigonométrico de raio 1 e um ângulo x com 0<x<\tfrac{\pi}{2}. A partir de comparações de áreas obtém-se as desigualdades padrão:
\sin x < x < \tan x.
Explicando rapidamente: a área do triângulo inscrito é \tfrac{1}{2}\sin x, a área do setor é \tfrac{1}{2}x e a área do triângulo circunscrito é \tfrac{1}{2}\tan x; daí vem \sin x < x < \tan x.
Dividindo a cadeia por \sin x (positivo nesse intervalo),
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Tomando recíproco (inversão dos termos, preservando desigualdades porque todos positivos),
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Agora, ao fazer x\to0^+, temos \cos x \to 1, logo por teorema do aperto (squeeze) segue
\lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1.
Como \dfrac{\sin x}{x} é uma função par (isto é, \dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}), o limite por x\to0^- é o mesmo, e portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Limite de \dfrac{1}{\cos v} quando v\to0. A função \cos v é contínua e \cos 0=1, então
\lim_{v\to 0}\cos v=1,
portanto
\lim_{v\to 0}\frac{1}{\cos v}=\frac{1}{1}=1.
Assim ambos os limites parciais que apareciam no produto da Passo 3 existem e são finitos.

Passo 6

Reunindo tudo (Passo 3, Passo 4 e Passo 5):
\lim_{v\to 0}\frac{\operatorname{tg}(v)}{2v} =\frac{1}{2}\cdot\left(\lim_{v\to0}\frac{\sin v}{v}\right)\cdot\left(\lim_{v\to0}\frac{1}{\cos v}\right) =\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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