Calcule os seguintes limites. Caso eles não existam, explique a razão.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a zero da função
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é a tangente de
, escrita como (ou ). - A variável
tende para . - O objetivo é determinar o valor do limite ou explicar por que ele não existe.
Passo 2
Planejamento (breve e só para orientar a resolução): uma maneira simples é reescrever
em termos de
e
e usar o limite clássico
Também usarei propriedades básicas de limites (produto e quociente): se
e
com
, então
e
. Não vou assumir a validade do limite
sem justificar — vou dar a prova clássica por desigualdades (teorema do aperto / squeeze).
Passo 3
Reescrevendo a expressão usando
:
Logo o limite pedido pode ser escrito como
desde que os limites parciais existam (e
, para podermos tomar o inverso).
Passo 4
Provar que
(prova clássica por desigualdades, válida para
em
; a extensão para
por ambos os lados vem da paridade de
).
Considere o círculo trigonométrico de raio
e um ângulo
com
. A partir de comparações de áreas obtém-se as desigualdades padrão:
Explicando rapidamente: a área do triângulo inscrito é
, a área do setor é
e a área do triângulo circunscrito é
; daí vem
.
Dividindo a cadeia por
(positivo nesse intervalo),
Tomando recíproco (inversão dos termos, preservando desigualdades porque todos positivos),
Agora, ao fazer
, temos
, logo por teorema do aperto (squeeze) segue
Como
é uma função par (isto é,
), o limite por
é o mesmo, e portanto
Passo 5
Limite de
quando
. A função
é contínua e
, então
portanto
Assim ambos os limites parciais que apareciam no produto da Passo 3 existem e são finitos.
Passo 6
Reunindo tudo (Passo 3, Passo 4 e Passo 5):