Calcule os seguintes limites. Caso eles não existam, explique a razão.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Queremos determinar se esse limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor. As informações dadas são apenas a expressão acima e o ponto de aproximação
.
Passo 2
Vamos usar um fato básico e muito útil sobre funções trigonométricas pequenas: a seguinte limite fundamental:
Explicando por que isso vale (de maneira simples): para
vale a desigualdade clássica
obtida por argumentos geométricos no círculo trigonométrico (ou por desigualdades entre áreas). Como
, pelo Teorema do Aperto (squeeze) segue que
.
Dessa identidade e da relação
obtemos
Como
e
, pelo produto de limites
Passo 3
Agora apliquei essa informação ao nosso limite. Faça a substituição auxiliar
. Quando
temos
, logo
Escrevemos a expressão original fatorando convenientemente:
Passo 4
Calcule a segunda fração:
Portanto a expressão fica
Como já sabemos que
e a função potência e multiplicação são contínuas, passamos o limite para dentro: