Calcule os seguintes limites. Caso eles não existam, explique a razão.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{tg}^{4}(2 x)}{4 x^{4}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{\tan^{4}(2x)}{4x^{4}}.
Queremos determinar se esse limite existe e, em caso afirmativo, encontrar o seu valor. As informações dadas são apenas a expressão acima e o ponto de aproximação x\to 0.

Passo 2

Vamos usar um fato básico e muito útil sobre funções trigonométricas pequenas: a seguinte limite fundamental:
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Explicando por que isso vale (de maneira simples): para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade clássica
\cos u \le \frac{\sin u}{u} \le 1,
obtida por argumentos geométricos no círculo trigonométrico (ou por desigualdades entre áreas). Como \lim_{u\to 0}\cos u=1, pelo Teorema do Aperto (squeeze) segue que \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1.
Dessa identidade e da relação \tan u=\dfrac{\sin u}{\cos u} obtemos
\frac{\tan u}{u}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{1}{\cos u}.
Como \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1 e \lim_{u\to0}\cos u=1, pelo produto de limites
\lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.

Passo 3

Agora apliquei essa informação ao nosso limite. Faça a substituição auxiliar u=2x. Quando x\to0 temos u\to0, logo
\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{2x}=1.
Escrevemos a expressão original fatorando convenientemente:
\frac{\tan^{4}(2x)}{4x^{4}} = \left(\frac{\tan(2x)}{2x}\right)^{4}\cdot\frac{(2x)^{4}}{4x^{4}}.

Passo 4

Calcule a segunda fração:
\frac{(2x)^{4}}{4x^{4}}=\frac{16x^{4}}{4x^{4}}=4.
Portanto a expressão fica
\frac{\tan^{4}(2x)}{4x^{4}}= \left(\frac{\tan(2x)}{2x}\right)^{4}\cdot 4.
Como já sabemos que \displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan(2x)}{2x}=1 e a função potência e multiplicação são contínuas, passamos o limite para dentro:
\lim_{x\to0}\frac{\tan^{4}(2x)}{4x^{4}} = \left(\lim_{x\to0}\frac{\tan(2x)}{2x}\right)^{4}\cdot 4 =1^{4}\cdot 4=4.

Resposta

4

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