Calcule os seguintes limites (envolvendo o número neperiano e \cong 2,7182 ):
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{1+x}-3}{x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{3^{1+x}-3}{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A base da potência é 3.
  • O limite é quando x tende a 0.
  • Foi mencionado o número neperiano e\approx2,7182, que provavelmente será útil para escrever exponenciais na forma e^{(\cdot)}.

Passo 2

Faço uma simplificação algébrica imediata usando a propriedade de potências \,a^{b+c}=a^b a^c. Assim,
3^{1+x}=3^{1}\cdot 3^{x}=3\cdot 3^{x}.
Substituindo na expressão do limite,
\frac{3^{1+x}-3}{x}=\frac{3\cdot 3^{x}-3}{x}=3\cdot\frac{3^{x}-1}{x}.
Portanto o limite original vale 3 vezes o limite
L=\lim_{x\to 0}\frac{3^{x}-1}{x}.

Passo 3

Agora o objetivo é calcular L=\lim_{x\to 0}\dfrac{3^{x}-1}{x}. Para isso uso a relação entre potências de base a e a função exponencial base e:
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural (a inversa da função e^{x}). Aqui a=3, logo 3^{x}=e^{x\ln 3}. Essa reescrita é útil porque há um limite padrão envolvendo e^{u}.

Passo 4

Substituo 3^{x}=e^{x\ln 3} em L:
L=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln 3}-1}{x}.

Passo 5

Faço a substituição auxiliar u=x\ln 3. Quando x\to 0 tem-se u\to 0 (pois \ln 3 é finito). Reescrevo o quociente de forma a usar o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{e^{u}-1}{u}=1:
\frac{e^{x\ln 3}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\frac{u}{x}.
Como u=x\ln 3, então \dfrac{u}{x}=\ln 3. Assim
\frac{e^{x\ln 3}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot \ln 3.

Passo 6

Conhecemos o limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Explicação didática rápida: esse limite é a definição da derivada de e^{u} em u=0, pois
\left.\frac{d}{du}e^{u}\right|_{u=0}=\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-e^{0}}{u-0}=\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=e^{0}=1.
Também se vê pela expansão de Taylor e^{u}=1+u+\tfrac{u^{2}}{2!}+\cdots, que leva o quociente a 1 quando u\to0.

Passo 7

Usando o resultado do passo anterior, obtemos
L=\lim_{x\to 0}\frac{3^{x}-1}{x}=\ln 3.

Passo 8

Voltando ao limite original, que valia 3 vezes L, concluímos
\lim_{x\to 0}\frac{3^{1+x}-3}{x}=3\cdot L=3\ln 3.

Resposta

3\ln 3

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