Agora o objetivo é calcular L=\lim_{x\to 0}\dfrac{3^{x}-1}{x}. Para isso uso a relação entre potências de base a e a função exponencial base e:
a^{x}=e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural (a inversa da função e^{x}). Aqui a=3, logo 3^{x}=e^{x\ln 3}. Essa reescrita é útil porque há um limite padrão envolvendo e^{u}.
Passo 4
Substituo 3^{x}=e^{x\ln 3} em L:
L=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x\ln 3}-1}{x}.
Passo 5
Faço a substituição auxiliar u=x\ln 3. Quando x\to 0 tem-se u\to 0 (pois \ln 3 é finito). Reescrevo o quociente de forma a usar o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{e^{u}-1}{u}=1: