(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Identificar o tipo de indeterminação (se houver) da expressão quando
. - Calcular o limite
.
Informações dadas:
- A função é
. - O limite é uniliteral, vindo pela esquerda de
(isto é, e ).
Passo 2
Primeiro avalio o numerador e o denominador em
por substituição direta:
Portanto a forma obtida por substituição é “não nula sobre zero” (escrevendo informalmente:
). Essa forma NÃO é a indeterminação clássica
; quando o numerador tende a um número diferente de zero e o denominador tende a zero, o limite tende a infinito (ou menos infinito) ou não existe, dependendo do sinal ao se aproximar.
Passo 3
Para determinar o sinal do quociente ao aproximar
de
pela esquerda, fatoro o denominador:
Assim a expressão fica
Passo 4
Analiso o sinal de numerador e denominador para
próximo de
vindo da esquerda (
, mas muito próximo de
):
- Numerador:
. Para perto de temos , logo (numerador negativo). - Denominador:
. Como , tem , então (denominador negativo).
Negativo dividido por negativo dá positivo. Além disso o denominador tende a zero em módulo quando
, então o quociente cresce em módulo sem limite (explode) mantendo sinal positivo.
Passo 5
Como a expressão tende para um número positivo com módulo arbitrariamente grande, o limite uniliteral pela esquerda é
.
Resposta
Tipo: não é indeterminação (numerador
e denominador
; forma “constante/0”).