(Miscelânea) Identifique o tipo de indeterminação e calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{3-x}{2 x-10}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Identificar o tipo de indeterminação (se houver) da expressão quando x\to5^{-}.
  • Calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to5^{-}} \frac{3-x}{2x-10}.
Informações dadas:
  • A função é \displaystyle \frac{3-x}{2x-10}.
  • O limite é uniliteral, vindo pela esquerda de 5 (isto é, x<5 e x\to5).

Passo 2

Primeiro avalio o numerador e o denominador em x=5 por substituição direta:
\lim_{x\to5}(3-x)=3-5=-2, \qquad \lim_{x\to5}(2x-10)=2\cdot5-10=0.
Portanto a forma obtida por substituição é “não nula sobre zero” (escrevendo informalmente: \dfrac{-2}{0}). Essa forma NÃO é a indeterminação clássica 0/0; quando o numerador tende a um número diferente de zero e o denominador tende a zero, o limite tende a infinito (ou menos infinito) ou não existe, dependendo do sinal ao se aproximar.

Passo 3

Para determinar o sinal do quociente ao aproximar x de 5 pela esquerda, fatoro o denominador:
2x-10 = 2(x-5).
Assim a expressão fica
\frac{3-x}{2x-10}=\frac{3-x}{2(x-5)}.

Passo 4

Analiso o sinal de numerador e denominador para x próximo de 5 vindo da esquerda ( x<5, mas muito próximo de 5):
  • Numerador: 3-x. Para x perto de 5 temos x>3, logo 3-x<0 (numerador negativo).
  • Denominador: 2(x-5). Como x<5, tem x-5<0, então 2(x-5)<0 (denominador negativo).
Negativo dividido por negativo dá positivo. Além disso o denominador tende a zero em módulo quando x\to5, então o quociente cresce em módulo sem limite (explode) mantendo sinal positivo.

Passo 5

Como a expressão tende para um número positivo com módulo arbitrariamente grande, o limite uniliteral pela esquerda é +\infty.

Resposta

Tipo: não é indeterminação (numerador \to -2\neq0 e denominador \to0; forma “constante/0”).
\displaystyle \lim_{x\to5^{-}} \frac{3-x}{2x-10} = +\infty

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