Calcule os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{5}{x^{2}-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite unilateral
\lim_{x\to 0^-} \frac{5}{x^{2}-x}.
As informações importantes dadas são:
  • A expressão é \dfrac{5}{x^{2}-x}.
  • O limite é quando x se aproxima de 0 pela esquerda (isto é, x<0 e x\to0).
  • Note que a expressão não está definida em x=0 nem em x=1 (denominador zero nesses pontos), então é esperado comportamento de divergência em x=0; a tarefa é determinar o sinal e se diverge para +\infty ou -\infty ou se converge a um número finito.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o denominador de forma mais clara, fatorando:
x^{2}-x = x(x-1).
Assim a função fica
\frac{5}{x^{2}-x}=\frac{5}{x(x-1)}.
Isso facilita ver o sinal e a ordem de grandeza quando x se aproxima de zero.

Passo 3

Análise do sinal do denominador quando x\to0^- (ou seja, para x negativo e pequeno):
  • Para x<0 temos \;x<0.
  • Para esses mesmos x temos x-1< -1<0.
    Portanto x é negativo e x-1 também é negativo; o produto x(x-1) é negativo vezes negativo, ou seja, positivo. Logo, para x próximos de 0 pela esquerda o denominador é positivo e tende a 0. Conclusão qualitativa: o denominador tende para 0^{+}, portanto a fração tende a +\infty ou a um grande número positivo.
Intuição rápida (não rigorosa): como x-1\to-1 quando x\to0, o denominador se comporta como x\cdot(-1)=-x para x muito pequeno; para x vindo da esquerda temos -x>0 pequeno, então \dfrac{5}{x^{2}-x}\approx\dfrac{5}{-x}\to+\infty. Agora vamos fazer um argumento mais rigoroso com desigualdades.

Passo 4

Rigor com desigualdades para mostrar divergência para +\infty.
Escolha, por exemplo, \delta=\tfrac{1}{2}. Para todo x em \left(-\tfrac{1}{2},0\right) vale:
  • |x|<\tfrac{1}{2},
  • x-1 está entre -\tfrac{3}{2} e -1, logo |x-1|\le \tfrac{3}{2}.
Então, para x\in\left(-\tfrac{1}{2},0\right) temos
0<x^{2}-x=|x|\cdot|x-1|\le |x|\cdot\frac{3}{2}=\frac{3}{2}|x|.
Invertendo a desigualdade (lembrando que tudo é positivo nessa faixa) obtemos
\frac{5}{x^{2}-x}\ge \frac{5}{\tfrac{3}{2}|x|}=\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{|x|}.
Como x\to0^- implica |x|\to 0^+, temos \dfrac{1}{|x|}\to+\infty. Pela desigualdade acima, o lado esquerdo também tende a +\infty. Portanto
\lim_{x\to0^-}\frac{5}{x^{2}-x}=+\infty.

Passo 5

Interpretação final: o limite não existe como número finito; a função diverge positivamente quando x se aproxima de 0 pela esquerda, ou seja, há uma assíntota vertical em x=0 com crescimento para +\infty do lado esquerdo.

Resposta

+\infty

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