Calcule os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite unilateral
As informações importantes dadas são:
- A expressão é
. - O limite é quando
se aproxima de pela esquerda (isto é, e ). - Note que a expressão não está definida em
nem em (denominador zero nesses pontos), então é esperado comportamento de divergência em ; a tarefa é determinar o sinal e se diverge para ou ou se converge a um número finito.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o denominador de forma mais clara, fatorando:
Assim a função fica
Isso facilita ver o sinal e a ordem de grandeza quando
se aproxima de zero.
Passo 3
Análise do sinal do denominador quando
(ou seja, para
negativo e pequeno):
- Para
temos . - Para esses mesmos
temos .
Portantoé negativo e também é negativo; o produto é negativo vezes negativo, ou seja, positivo. Logo, para próximos de pela esquerda o denominador é positivo e tende a . Conclusão qualitativa: o denominador tende para , portanto a fração tende a ou a um grande número positivo.
Intuição rápida (não rigorosa): como
quando
, o denominador se comporta como
para
muito pequeno; para
vindo da esquerda temos
pequeno, então
. Agora vamos fazer um argumento mais rigoroso com desigualdades.
Passo 4
Rigor com desigualdades para mostrar divergência para
.
Escolha, por exemplo,
. Para todo
em
vale:
-
, -
está entre e , logo .
Então, para
temos
Invertendo a desigualdade (lembrando que tudo é positivo nessa faixa) obtemos
Como
implica
, temos
. Pela desigualdade acima, o lado esquerdo também tende a
. Portanto
Passo 5
Interpretação final: o limite não existe como número finito; a função diverge positivamente quando
se aproxima de
pela esquerda, ou seja, há uma assíntota vertical em
com crescimento para
do lado esquerdo.