Calcule os seguintes limites, quando existirem, ou justifique a inexistência: \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{5}{x^{2}-x}
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite unilaterais
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{5}{x^{2}-x}.
Informações dadas:
A função é \displaystyle \frac{5}{x^{2}-x}.
O ponto de aproximação é 0 pela direita, ou seja x\to 0^{+}.
Não há outras informações adicionais.
Passo 2
Entender o comportamento do denominador. Fatorando:
x^{2}-x = x(x-1).
Para x próximo de 0 com x>0 (isto é, x\to 0^{+}):
temos x>0;
e x-1<0 porque x<1.
Portanto, para 0<x<1 vale
x(x-1)<0,
ou seja, o denominador x^{2}-x é negativo quando x se aproxima de 0 pela direita.
Passo 3
Mostrar que o denominador tende a zero quando x\to 0^{+}. Observe que, para 0<x<1,
|x^{2}-x| = x(1-x) \le x,
pois 1-x\le 1. Como x\to 0^{+} implica x\to 0, segue que |x^{2}-x|\to 0 e então
x^{2}-x \to 0^{-}
(isto é, tende a zero pelo lado negativo).
Passo 4
Interpretar o efeito no quociente. Temos numerador constante positivo 5 e denominador que tende a zero por valores negativos. Quando um número positivo é dividido por um número que vai para 0 pelo lado negativo, o quociente fica cada vez mais negativo em módulo grande; por isso esperamos que o limite seja -\infty.
Passo 5
Prova formal do limite para -\infty usando a definição através do critério M. Queremos mostrar que para qualquer M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x<\delta, então
\frac{5}{x^{2}-x} < -M.
Como para 0<x<1 temos x^{2}-x<0, a desigualdade acima é equivalente a
\left|\frac{5}{x^{2}-x}\right| > M,
ou seja
\frac{5}{|x^{2}-x|} > M \quad\Longleftrightarrow\quad |x^{2}-x| < \frac{5}{M}.
Como |x^{2}-x| = x(1-x) \le x para 0<x<1, basta garantir x < \dfrac{5}{M} e também x<1. Assim, tomando
\delta = \min\left(1,\\ \frac{5}{M}\right),
temos que, sempre que 0<x<\delta,
|x^{2}-x| \le x < \frac{5}{M},
logo \dfrac{5}{|x^{2}-x|} > M e, como o sinal do quociente é negativo, segue
\frac{5}{x^{2}-x} < -M.
Isso prova que, para qualquer M>0, os valores da função ficam menores que -M quando x é suficientemente próximo de 0 pela direita. Portanto o limite é -\infty.
Passo 6
Comentário final e intuição rápida: perto de 0^{+} o termo x^{2} é insignificante frente a x, então x^{2}-x\approx -x (um número negativo com módulo pequeno). Assim \dfrac{5}{x^{2}-x}\approx \dfrac{5}{-x}, que tende a -\infty quando x\to 0^{+}. Força aí — esse tipo de raciocínio (fatorar, ver o sinal e comparar com algo simples) é muito útil em provas quando aparecem limites com denominar que vão a zero.