Calcule os seguintes limites:
i) \quad \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 1}\left(\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve duas frações com denominador (x-1).
  • Em x=1 o denominador (x-1) vale zero, então a expressão original não está definida em x=1.
  • O que se pede é o limite quando x se aproxima de 1, ou seja, o comportamento dos valores da expressão para x próximos de 1, não o valor da função em x=1 (que sequer existe).

Passo 2

Primeiro passo algébrico: colocar as duas frações sobre o mesmo denominador e simplificar o numerador. As duas frações já têm o mesmo denominador (x-1), portanto podemos juntá-las:
\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}.

Passo 3

Reconhecer e fatorar a diferença de quadrados no numerador. A identidade algébrica importante aqui é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=1:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 4

Substituir a fatoração no quociente e cancelar o fator comum (x-1) (lembrando que isto é válido para x\neq1, que é justamente a região relevante para o limite):
\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\qquad\text{(para }x\neq1\text{)}.
Explicação didática: a expressão original e a função x+1 coincidem em todos os pontos próximos de 1 (exceto exatamente em 1), por isso têm o mesmo limite quando x\to1.

Passo 5

Agora usamos uma propriedade básica de limites: se duas funções coincidem em um entorno de a com exceção possivelmente do ponto a em si, então têm o mesmo limite em a. Assim
\lim_{x\to1}\left(\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right)=\lim_{x\to1}(x+1).

Passo 6

Avaliar o limite da função simples x+1. Como x+1 é um polinômio (função contínua), o limite quando x\to1 é obtido por substituição direta:
\lim_{x\to1}(x+1)=1+1=2.
Observação pedagógica: polinômios são contínuos em todo lugar, então para limites de polinômios basta substituir o ponto.

Resposta

2

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