Calcule os seguintes limites:
i)
i)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve duas frações com denominador
. - Em
o denominador vale zero, então a expressão original não está definida em . - O que se pede é o limite quando
se aproxima de , ou seja, o comportamento dos valores da expressão para próximos de , não o valor da função em (que sequer existe).
Passo 2
Primeiro passo algébrico: colocar as duas frações sobre o mesmo denominador e simplificar o numerador. As duas frações já têm o mesmo denominador
, portanto podemos juntá-las:
Passo 3
Reconhecer e fatorar a diferença de quadrados no numerador. A identidade algébrica importante aqui é
Aplicando com
e
:
Passo 4
Substituir a fatoração no quociente e cancelar o fator comum
(lembrando que isto é válido para
, que é justamente a região relevante para o limite):
Explicação didática: a expressão original e a função
coincidem em todos os pontos próximos de
(exceto exatamente em
), por isso têm o mesmo limite quando
.
Passo 5
Agora usamos uma propriedade básica de limites: se duas funções coincidem em um entorno de
com exceção possivelmente do ponto
em si, então têm o mesmo limite em
. Assim
Passo 6
Avaliar o limite da função simples
. Como
é um polinômio (função contínua), o limite quando
é obtido por substituição direta:
Observação pedagógica: polinômios são contínuos em todo lugar, então para limites de polinômios basta substituir o ponto.