Determine todos os valores para os quais
é contínua:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os valores de
para os quais a função
é contínua.
Informações relevantes do enunciado:
- A função envolve o valor absoluto
e o denominador . - A continuidade em um ponto exige que a função esteja definida nesse ponto e que o limite da função quando
se aproxima desse ponto seja igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 2
Entender o valor absoluto e reescrever [f) peça por peça.
Definição do valor absoluto: para qualquer número real
,
Aqui
(isto é, se
), então
.
- Se (isto é, se
), então
.]
- Se
Passo 3
Usar a reescrita por casos para simplificar
em cada região.
Caso 1:
. (Note que o caso
precisa ser tratado separadamente por causa do denominador.)
Se então
e
. Logo
Se
Caso 2:
.
Se então
e
. Logo
Se
Observação sobre
: nesse ponto
, o denominador é zero, portanto
não está definida.
Passo 4
Determinar o domínio de
.
A função original tem denominador
, então deve-se exigir
. Assim o domínio é todos os reais exceto
:
Passo 5
Mostrar continuidade em pontos do domínio (isto é, para
).
Fato usado: toda função constante é contínua em todo ponto do seu domínio. Alternativamente, pode-se argumentar por limites locais:
- Se
, então existe um pequeno intervalo ao redor de contido em onde . Logo
portanto
é contínua em qualquer
.
- Se
, então existe um pequeno intervalo ao redor de contido em onde . Logo
portanto
é contínua em qualquer
.
Assim
é contínua em todo ponto do domínio
.
Passo 6
Verificar o ponto
.
Primeiro,
não está definida, porque o denominador é zero em
. Para discutir continuidade seria preciso que a função estivesse definida ali; portanto já não é contínua em
. Além disso, os limites laterais não coincidem:
portanto o limite
não existe. Conclusão:
não é contínua em
.