Determine todos os valores para os quais f é contínua:
a) f(x)=\frac{|x+9|}{x+9}

Passo 1

O enunciado pede: determinar todos os valores de x para os quais a função
f(x)=\frac{|x+9|}{x+9}
é contínua.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função envolve o valor absoluto |x+9| e o denominador x+9.
  • A continuidade em um ponto exige que a função esteja definida nesse ponto e que o limite da função quando x se aproxima desse ponto seja igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 2

Entender o valor absoluto e reescrever [f) peça por peça.
Definição do valor absoluto: para qualquer número real y,
|y| = \begin{cases} y, & \text{se } y\ge 0,\\[4pt] -y, & \text{se } y<0. \end{cases}
Aqui y=x+9\]. Portanto: - Se \(x+9\ge 0 (isto é, se x\ge -9), então |x+9|=x+9.
- Se x+9<0 (isto é, se x<-9), então |x+9|=-(x+9).]

Passo 3

Usar a reescrita por casos para simplificar f(x) em cada região.
Caso 1: x>-9. (Note que o caso x=-9 precisa ser tratado separadamente por causa do denominador.)
Se x>-9 então x+9>0 e |x+9|=x+9. Logo
f(x)=\frac{x+9}{x+9}=1 \qquad\text{para } x>-9.
Caso 2: x<-9.
Se x<-9 então x+9<0 e |x+9|=-(x+9). Logo
f(x)=\frac{-(x+9)}{x+9}=-1 \qquad\text{para } x<-9.
Observação sobre x=-9: nesse ponto x+9=0, o denominador é zero, portanto f(-9) não está definida.

Passo 4

Determinar o domínio de f.
A função original tem denominador x+9, então deve-se exigir x+9\neq 0. Assim o domínio é todos os reais exceto x=-9:
\operatorname{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-9\} = (-\infty,-9)\cup(-9,\infty).

Passo 5

Mostrar continuidade em pontos do domínio (isto é, para x\neq -9).
Fato usado: toda função constante é contínua em todo ponto do seu domínio. Alternativamente, pode-se argumentar por limites locais:
  • Se x_0>-9, então existe um pequeno intervalo ao redor de x_0 contido em (-9,\infty) onde f(x)=1. Logo
\lim_{x\to x_0} f(x)=1=f(x_0),
portanto f é contínua em qualquer x_0>-9.
  • Se x_0<-9, então existe um pequeno intervalo ao redor de x_0 contido em (-\infty,-9) onde f(x)=-1. Logo
\lim_{x\to x_0} f(x)=-1=f(x_0),
portanto f é contínua em qualquer x_0<-9.
Assim f é contínua em todo ponto do domínio (-\infty,-9)\cup(-9,\infty).

Passo 6

Verificar o ponto x=-9.
Primeiro, f(-9) não está definida, porque o denominador é zero em x=-9. Para discutir continuidade seria preciso que a função estivesse definida ali; portanto já não é contínua em x=-9. Além disso, os limites laterais não coincidem:
\lim_{x\to -9^-} f(x) = -1,\qquad \lim_{x\to -9^+} f(x)=1,
portanto o limite \lim_{x\to -9} f(x) não existe. Conclusão: f não é contínua em x=-9.

Resposta

f é contínua em (-\infty,-9)\cup(-9,\infty).

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