Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{3}+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(x - \sqrt{x^3+3}\bigr).
Este é um limite do tipo \infty - \infty, envolvendo crescimento de funções. Vamos precisar usar comparação de ordens de grandeza e racionalização.

Passo 2

Observação de ordem de grandeza:
\sqrt{x^3+3} cresce como x^{3/2}, enquanto x cresce como x^1. Como 3/2>1, o termo \sqrt{x^3+3} domina quando x\to+\infty, sugerindo que a diferença tende a -\infty.

Passo 3

Racionalizamos a expressão para evidenciar o comportamento assintótico:
x - \sqrt{x^3+3} = \frac{(x - \sqrt{x^3+3})(x + \sqrt{x^3+3})}{x + \sqrt{x^3+3}} = \frac{x^2 - (x^3+3)}{x + \sqrt{x^3+3}} = \frac{-x^3 + x^2 - 3}{x + \sqrt{x^3+3}}.

Passo 4

No numerador o termo de maior ordem é -x^3 e no denominador, para grandes x, o termo dominante é \sqrt{x^3}=x^{3/2}. Assim a fração se comporta como
\frac{-x^3}{x^{3/2}} = -\,x^{3/2},
o qual diverge para -\infty quando x\to+\infty.

Resposta

-\infty

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