Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\bigl(x - \sqrt{x^2+3}\bigr).
Aqui temos uma forma indeterminada do tipo \infty - \infty, então vamos usar a técnica de racionalização (multiplicar e dividir pela conjugada) para reescrever a expressão de modo a eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Multiplicamos e dividimos por x + \sqrt{x^2+3}, isto é, pela conjugada de x - \sqrt{x^2+3}. Temos
x - \sqrt{x^2+3} = \frac{\bigl(x - \sqrt{x^2+3}\bigr)\bigl(x + \sqrt{x^2+3}\bigr)}{x + \sqrt{x^2+3}} = \frac{x^2 - (x^2+3)}{x + \sqrt{x^2+3}} = \frac{-3}{x + \sqrt{x^2+3}}.

Passo 3

Agora analisamos
\frac{-3}{x + \sqrt{x^2+3}}.
Para x\to+\infty, tanto x quanto \sqrt{x^2+3} crescem e a soma no denominador se comporta como 2x. Logo
x + \sqrt{x^2+3}\sim 2x \quad\Longrightarrow\quad \frac{-3}{x + \sqrt{x^2+3}}\sim \frac{-3}{2x}\to 0.

Resposta

0

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