Calcule os seguintes limites no infinito:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x+3}}{x}

Passo 1

O enunciado nos pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+3}}{x}.
O conteúdo envolve limites no infinito de funções que combinam radicais e polinômios, e a ideia é fatorar o termo de maior ordem para ver o comportamento dominante.

Passo 2

Para simplificar a raiz, fatoramos x dentro do radical:
\sqrt{x+3} = \sqrt{x}\,\sqrt{1 + \frac{3}{x}}.

Passo 3

Substituindo na fração original, obtemos
\frac{\sqrt{x+3}}{x} = \frac{\sqrt{x}\,\sqrt{1 + \frac{3}{x}}}{x} = \frac{\sqrt{1 + \frac{3}{x}}}{\sqrt{x}}.

Passo 4

Quando x\to+\infty, temos \sqrt{1 + \tfrac{3}{x}}\to1 e \sqrt{x}\to+\infty. Logo,
\frac{\sqrt{1 + \frac{3}{x}}}{\sqrt{x}} \;\longrightarrow\; \frac{1}{+\infty} \;=\; 0.

Resposta

0

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