Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses limites juntos! A questão pede para calcular três limites quando
se aproxima de 2. Vamos precisar usar técnicas de fatoração e simplificação de expressões algébricas para facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro limite:
Primeiro, observamos que tanto o numerador quanto o denominador se anulam em
, resultando em
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, vamos fatorar o numerador e o denominador.
O numerador
é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada assim:
O denominador
é uma diferença de quadrados, que fatoramos como:
Agora, substituímos na expressão original:
Podemos cancelar o termo
que aparece no numerador e no denominador:
Agora, substituímos
:
Passo 3
Vamos para o segundo limite:
Novamente, substituindo
diretamente, obtemos
. Então, vamos fatorar o numerador:
Substituindo na expressão:
Cancelamos o
:
Agora, substituímos
:
Passo 4
Por último, o terceiro limite:
Aqui, não temos uma forma indeterminada, então podemos simplesmente substituir
:
Resposta
Os limites são: