Calcule os seguintes limites. Justifique suas respostas.
lim t 1(t^2-1t-1, raizt-1t-1, t^3-1t-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos três limites quando se aproxima de 1. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, e vamos precisar usar técnicas como fatoração e racionalização para simplificar as expressões. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de t^2 - 1t - 1 = (t - 1)(t + 1)t - 1 quando t + 1 se aproxima de 1.
Passo 2.1: Observamos que o numerador limt to 1 (t + 1) = 1 + 1 = 2 pode ser fatorado como .
Passo 2.2: Substituindo na expressão, temos:
Passo 2.3: Cancelamos no numerador e denominador:
Passo 2.4: Agora, calculamos o limite:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de raizt - 1t - 1 times raizt + 1raizt + 1 = (raizt)^2 - 1^2(t - 1)(raizt + 1) = t - 1(t - 1)(raizt + 1) quando 1raizt + 1 se aproxima de 1.
Passo 3.1: Observamos que, se substituirmos diretamente limt to 1 1raizt + 1 = 11 + 1 = 12 , teremos , que é uma indeterminação. Para resolver isso, vamos racionalizar o numerador.
Passo 3.2: Multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador, que é :
Passo 3.3: Cancelamos no numerador e denominador:
Passo 3.4: Calculamos o limite:

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite de t^3 - 1t - 1 = (t - 1)(t^2 + t + 1)t - 1 quando t^2 + t + 1 se aproxima de 1.
Passo 4.1: Notamos que o numerador limt to 1 (t^2 + t + 1) = 1^2 + 1 + 1 = 3 pode ser fatorado como .
Passo 4.2: Substituindo na expressão, temos:
Passo 4.3: Cancelamos no numerador e denominador:
Passo 4.4: Calculamos o limite:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados