Calcule os seguintes limites laterais :
a. \lim _{x \rightarrow 2^{-}} \sqrt{4-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral esquerdo
\lim_{x\to 2^{-}} \sqrt{4 - x^{2}}.
Informações dadas: a função considerada é f(x)=\sqrt{4-x^{2}}. Precisamos analisar o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 2 pela esquerda (valores menores que 2).

Passo 2

Determinar o domínio da função para saber por onde podemos nos aproximar de 2. A raiz quadrada exige que o radicando seja não negativo, então impomos
4 - x^{2} \ge 0.
Resolvendo,
-x^{2} \ge -4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} \le 4 \quad\Longrightarrow\quad -2 \le x \le 2.
Portanto a função está definida para x em [-2,2]. Em particular, podemos nos aproximar de 2 pela esquerda sem sair do domínio.

Passo 3

Olhemos para o radicando como uma função auxiliar g(x)=4-x^{2}. Como g é uma função polinomial (da forma 4-x^{2}), ela é contínua, então o limite quando x\to 2^{-} é o valor obtido pela substituição direta:
\lim_{x\to 2^{-}} g(x)=\lim_{x\to 2^{-}} (4-x^{2})=4-2^{2}=0.
Observação: a conclusão vale tanto pela esquerda quanto pela direita para polinômios; aqui só precisamos do lado esquerdo porque a função original só está definida até 2.

Passo 4

Agora aplicamos a função raiz quadrada sobre g(x). A função raiz quadrada h(t)=\sqrt{t} é contínua em todo [0,\infty). Como g(x)\to 0 e 0\in[0,\infty), pela propriedade de composição de limites com funções contínuas segue que
\lim_{x\to 2^{-}} \sqrt{4-x^{2}} = \lim_{x\to 2^{-}} h(g(x)) = h\!\left(\lim_{x\to 2^{-}} g(x)\right) = h(0)=\sqrt{0}=0.

Passo 5

Interpretação intuitiva e sinal: para x próximos de 2 vindos pela esquerda temos x<2 e 4-x^{2}>0, então a raiz é bem definida e não negativa; à medida que x se aproxima de 2 pelo lado esquerdo o radicando vai a 0^{+} e a raiz vai a 0^{+}. Portanto o limite lateral esquerdo existe e vale 0.

Resposta

0

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