Calcule os seguintes limites:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen} x}{h}.

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen} x}{h}
que coincide com a definição de derivada de \operatorname{sen} x. Para resolver, vamos usar a fórmula de ângulo soma em trigonometria e os limites fundamentais
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen} u}{u}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{u\to 0}\frac{\cos u-1}{u}=0.

Passo 2

Aplicando a identidade de soma de ângulos, temos
\operatorname{sen}(x+h)=\operatorname{sen} x\cos h+\cos x\operatorname{sen} h.
Logo, o numerador fica
\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen} x =\operatorname{sen} x(\cos h-1)+\cos x\operatorname{sen} h.

Passo 3

Agora dividimos por h:
\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen} x}{h} =\operatorname{sen} x\cdot\frac{\cos h-1}{h} +\cos x\cdot\frac{\operatorname{sen} h}{h}.

Passo 4

Tomando h\to 0 em cada parcela, usando
\lim_{h\to0}(\cos h-1)/h=0 e \lim_{h\to0}\operatorname{sen} h/h=1, obtemos
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen} x}{h} =\operatorname{sen} x\cdot 0+\cos x\cdot1 =\cos x.

Resposta

\displaystyle \cos x

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