Calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 20} \frac{20 x-100}{x-20}
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 20} \frac{20x-100}{x-20}.
Informações dadas: a expressão é a função racional \dfrac{20x-100}{x-20} e a variável x tende para 20. A tarefa é determinar o valor (finito ou infinito) desse limite quando x se aproxima de 20.
Passo 2
Primeira tentativa natural: tentar substituir x=20 diretamente na expressão para ver se obtemos um número finito. Substituindo,
Portanto ao substituir obtemos uma forma \dfrac{300}{0}, que não é um número finito. Isso indica que o limite pode ser infinito (divergência) ou que não existe; precisamos analisar com mais cuidado o comportamento ao aproximar 20.
Passo 3
Entendimento importante (mini-aula): se numa fração o numerador tende para um número diferente de zero e o denominador tende para 0, então o quociente tende para infinito em módulo. O sinal (positivo ou negativo) do infinito depende dos sinais do numerador e do denominador nas proximidades do ponto. Em linguagem simples: se o numerador é aproximadamente uma constante não nula e o denominador muda de sinal passando por zero, teremos limites laterais possivelmente opostos (um +\infty e outro -\infty).
Passo 4
Aplicando o conceito ao nosso caso: já calculamos que o numerador quando x=20 vale 300. Além disso, o numerador é uma função linear contínua, então para x próximos de 20 o numerador continuará próximo de 300 e, portanto, positivo. Logo, nos arredores de 20 podemos considerar o numerador como positivo (não muda de sinal ali).
Passo 5
Agora analisamos o denominador \,x-20. Quando x se aproxima de 20 pela direita (isto é, x\to 20^+), temos x-20>0 e pequeno; quando x se aproxima de 20 pela esquerda (isto é, x\to 20^-), temos x-20<0 e pequeno. Como o numerador é positivo perto de 20, o sinal do quociente será:
para x\to 20^+: numerador positivo dividido por denominador positivo pequeno → quociente tende para +\infty;
para x\to 20^-: numerador positivo dividido por denominador negativo pequeno → quociente tende para -\infty.
Passo 6
Portanto os limites laterais são diferentes (um é +\infty e o outro é -\infty). Para que exista o limite bilateral \lim_{x\to 20} é necessário que os limites laterais coincidam e sejam finitos (ou ambos iguais a +\infty ou ambos a -\infty se aceitarmos infinito como valor do limite). Aqui eles não coincidem, então o limite bilateral não existe (não existe um valor real finito nem um infinito único).