Questão 7. Determine a série numérica que expressa o valor da seguinte integral definida
A
B
-
D
E
B
E
Passo 1
O enunciado pede para determinar uma série numérica que expressa o valor da integral
Informações relevantes dadas:
O que precisamos entregar: uma expressão em série (somatório) que representa exatamente o valor dessa integral.
Passo 2
Vamos lembrar a expansão em série (série de Taylor) da função seno em torno de
. A fórmula é
onde
é a variável da função seno. Aqui cada termo tem a forma
. Agora fazemos a substituição
. Substituindo obtemos a série para
:
Expliquei: cada potência
gera
.
Passo 3
Agora colocamos isso na integranda original. Temos
Simplificando a potência de
dividindo por
,
Observação importante (pra ficar tranquilo): cada termo é da forma constante vezes
, que é contínuo em
e tende a
quando
(o menor expoente é
), então não há singularidade no integrando resultante.
Passo 4
Justificativa para integrar termo a termo: a série de potências obtida converge uniformemente em qualquer intervalo compacto (em particular em
), porque é uma série de potências de uma função inteira (seno composto) e em intervalos fechados a convergência é uniforme. Como cada termo
é contínuo em
e a soma é uniformemente convergente, podemos integrar a série termo a termo no intervalo
.
Passo 5
Integramos termo a termo usando a regra básica de integração de potências:
Aqui
. Então
Multiplicando pelo coeficiente do termo e somando, obtemos
Passo 6
Escrevendo a série de maneira organizada:
Essa é a série numérica que expressa exatamente o valor da integral. Comparando com as alternativas fornecidas, essa expressão corresponde à alternativa C.
Resposta
C