Questão 7. Determine a série numérica que expressa o valor da seguinte integral definida
\int_{0}^{\pi} \frac{2 \sin \left(3 x^{2}\right)}{x} d x
A \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{2 n+1} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{2 n+1} \pi^{2 n+1}
B \sum_{n=0}^{\infty} 2 \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{2 n+1} \pi^{4 n+1}
  • \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{4 n+2} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{2 n+1} \pi^{4 n+2}
D \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{4 n+2} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{4 n+2} \pi^{4 n+2}
E \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{4 n+1} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1)!} 3^{4 n+1} \pi^{4 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma série numérica que expressa o valor da integral
\int_{0}^{\pi} \frac{2 \sin \left(3 x^{2}\right)}{x}\, d x.
Informações relevantes dadas:
\text{Integrando: } \frac{2\sin(3x^{2})}{x},\qquad \text{intervalo: } x\in[0,\pi].
O que precisamos entregar: uma expressão em série (somatório) que representa exatamente o valor dessa integral.

Passo 2

Vamos lembrar a expansão em série (série de Taylor) da função seno em torno de 0. A fórmula é
\sin(u)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,u^{2n+1},
onde u é a variável da função seno. Aqui cada termo tem a forma \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!}u^{2n+1}. Agora fazemos a substituição u=3x^{2}. Substituindo obtemos a série para \sin(3x^{2}):
\sin(3x^{2})=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,(3x^{2})^{2n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}x^{4n+2}.
Expliquei: cada potência (3x^2)^{2n+1} gera 3^{2n+1}x^{4n+2}.

Passo 3

Agora colocamos isso na integranda original. Temos
\frac{2\sin(3x^{2})}{x} =2\cdot\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}x^{4n+2}.
Simplificando a potência de x dividindo por x,
\frac{2\sin(3x^{2})}{x} =\sum_{n=0}^{\infty}2\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}x^{4n+1}.
Observação importante (pra ficar tranquilo): cada termo é da forma constante vezes x^{4n+1}, que é contínuo em [0,\pi] e tende a 0 quando x\to 0 (o menor expoente é x^{1}), então não há singularidade no integrando resultante.

Passo 4

Justificativa para integrar termo a termo: a série de potências obtida converge uniformemente em qualquer intervalo compacto (em particular em [0,\pi]), porque é uma série de potências de uma função inteira (seno composto) e em intervalos fechados a convergência é uniforme. Como cada termo \;2\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}3^{2n+1}x^{4n+1}\; é contínuo em [0,\pi] e a soma é uniformemente convergente, podemos integrar a série termo a termo no intervalo [0,\pi].

Passo 5

Integramos termo a termo usando a regra básica de integração de potências:
\int_{0}^{\pi} x^{k}\,dx=\left[\frac{x^{k+1}}{k+1}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{k+1}}{k+1}.
Aqui k=4n+1. Então
\int_{0}^{\pi} x^{4n+1}\,dx=\frac{\pi^{4n+2}}{4n+2}.
Multiplicando pelo coeficiente do termo e somando, obtemos
\int_{0}^{\pi}\frac{2\sin(3x^{2})}{x}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}2\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\cdot\frac{\pi^{4n+2}}{4n+2}.

Passo 6

Escrevendo a série de maneira organizada:
\int_{0}^{\pi}\frac{2\sin(3x^{2})}{x}\,dx =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{4n+2}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\pi^{4n+2}.
Essa é a série numérica que expressa exatamente o valor da integral. Comparando com as alternativas fornecidas, essa expressão corresponde à alternativa C.

Resposta

C \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2}{4n+2}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}\,3^{2n+1}\pi^{4n+2}

Exercícios relacionados