Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)(1+2 x)(1+3 x)-1}{x}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x}.
Esse tipo de limite pode ser resolvido expandindo o produto em potências de x e depois simplificando.

Passo 2

Expandimos primeiro os dois primeiros fatores:
(1+x)(1+2x)=1+3x+2x^2.
Agora multiplicamos pelo terceiro fator:
(1+3x+2x^2)(1+3x) =1+6x+11x^2+6x^3.

Passo 3

Substituímos essa expansão no numerador, subtraímos 1 e dividimos por x:
\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)-1}{x} =\frac{(1+6x+11x^2+6x^3)-1}{x} =\frac{6x+11x^2+6x^3}{x} =6+11x+6x^2.

Passo 4

Ao fazermos x\to0, os termos com x desaparecem:
\lim_{x\to0}(6+11x+6x^2)=6.

Resposta

6

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