Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{2}-(a+1) x+a}{x^{3}-a^{3}}\

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to a}\frac{x^{2}-(a+1)x+a}{x^{3}-a^{3}}
que é um caso de forma indeterminada 0/0 (porque ao substituir x=a tanto o numerador quanto o denominador valem zero). Para resolver, vamos usar fatoração e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Fatoramos o numerador x^{2}-(a+1)x+a. Note que ele é um polinômio de segundo grau em x cuja soma e produto das raízes são dados por:
soma das raízes = a+1 e produto = a. Isso coincide com o polinômio (x-a)(x-1), pois
(x-a)(x-1) = x^{2} - (a+1)x + a.

Passo 3

Fatoramos o denominador x^{3}-a^{3} usando a fórmula da diferença de cubos:
x^{3}-a^{3} = (x-a)\bigl(x^{2}+ax+a^{2}\bigr).

Passo 4

Agora podemos cancelar o fator comum (x-a) em numerador e denominador, obtendo
\frac{x^{2}-(a+1)x+a}{x^{3}-a^{3}} = \frac{(x-a)(x-1)}{(x-a)(x^{2}+ax+a^{2})} = \frac{x-1}{x^{2}+ax+a^{2}}.
Com isso, o limite deixa de ser indeterminado.

Passo 5

Basta avaliar a expressão simplificada em x=a:
\lim_{x\to a}\frac{x-1}{x^{2}+ax+a^{2}} = \frac{a-1}{a^{2}+a\cdot a + a^{2}} = \frac{a-1}{3a^{2}}.

Resposta

\frac{a-1}{3a^{2}}.

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