Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^{3}-2 x^{2}+1}{2 x^{3}+3 x-5}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{4x^{3}-2x^{2}+1}{2x^{3}+3x-5}.
O conteúdo é limite de função racional no infinito, e vamos usar a técnica de comparar os termos de maior grau.

Passo 2

Observamos que o numerador e o denominador são polinômios de grau 3. Quando x\to\infty, os termos de grau menor se tornam insignificantes perante os de maior grau. Para evidenciar isso, dividimos ambos por x^3.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^3, temos
\frac{4x^{3}-2x^{2}+1}{2x^{3}+3x-5} =\frac{x^3\bigl(4 - \tfrac{2}{x} + \tfrac{1}{x^3}\bigr)}{x^3\bigl(2 + \tfrac{3}{x^2} - \tfrac{5}{x^3}\bigr)} =\frac{4 - \tfrac{2}{x} + \tfrac{1}{x^3}}{2 + \tfrac{3}{x^2} - \tfrac{5}{x^3}}.

Passo 4

Ao fazermos x\to\infty, os termos \tfrac{2}{x}, \tfrac{1}{x^3}, \tfrac{3}{x^2} e \tfrac{5}{x^3} tendem a zero. Logo, a fração tende a
\frac{4 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{4}{2} = 2.

Resposta

2

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