Encontre os autovalores da matriz A=\left(\begin{array}{cc}4 & -1 \\\\ 2 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores da matriz
A = \begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}.
Para isso, vamos usar o fato de que os autovalores são as soluções do polinômio característico \det(A - \lambda I)=0.

Passo 2

Calculamos o determinante de A - \lambda I:
\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}4-\lambda & -1 \\[6pt] 2 & 1-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) - (-1)\cdot2 = \lambda^2 - 5\lambda + 6.]

Passo 3

Agora resolvemos a equação
\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0.
O discriminante é \Delta = (-5)^2 - 4\cdot1\cdot6 = 25 - 24 = 1. Logo
\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2},
resultando em \lambda_1 = 3 e \lambda_2 = 2.

Resposta

Os autovalores de A são \lambda_1 = 3 e \lambda_2 = 2.

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