Calcule os seguintes limites:
l) \lim _{y \rightarrow-\infty} \frac{3-y}{\sqrt{5+4 y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando y\to -\infty de
\frac{3 - y}{\sqrt{5 + 4y^{2}}}.
O conteúdo aqui é análise de limite no infinito usando o termo de maior grau em y no numerador e no denominador.

Passo 2

Para identificar o comportamento dominante, fatoramos y^{2} dentro da raiz:
\sqrt{5 + 4y^{2}} = \sqrt{4y^{2}\Bigl(1 + \frac{5}{4y^{2}}\Bigr)} = 2\,\lvert y\rvert\,\sqrt{1 + \frac{5}{4y^{2}}}.

Passo 3

Como y\to -\infty, temos \lvert y\rvert = -y. Logo
\sqrt{5 + 4y^{2}} = -2y\,\sqrt{1 + \frac{5}{4y^{2}}}.
Substituindo na fração e dividindo numerador e denominador por y, obtemos
\frac{3 - y}{\sqrt{5 + 4y^{2}}} = \frac{3 - y}{-2y\sqrt{1 + \frac{5}{4y^{2}}}} = \frac{-y\bigl(1 - \frac{3}{y}\bigr)}{-2y\sqrt{1 + \frac{5}{4y^{2}}}} = \frac{1 - \frac{3}{y}}{2\sqrt{1 + \frac{5}{4y^{2}}}}.

Passo 4

Agora basta analisar o limite de cada fator quando y\to -\infty:
\lim_{y\to -\infty}\Bigl(1 - \tfrac{3}{y}\Bigr) = 1, \qquad \lim_{y\to -\infty}\sqrt{1 + \tfrac{5}{4y^{2}}} = 1.
Portanto,
\lim_{y\to -\infty}\frac{1 - \tfrac{3}{y}}{2\sqrt{1 + \tfrac{5}{4y^{2}}}} = \frac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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