Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função dentro do logaritmo é
. - O ponto onde a variável se aproxima é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Calcular o valor de
em
(faça as contas passo a passo):
Primeiro calcule
. Então
Somando e subtraindo:
Passo 3
Explicar por que podemos simplesmente substituir
dentro do ln.
- Polinômios são funções contínuas em todo
. Ou seja, . - A função
é contínua em todo o intervalo . - Existe um teorema simples: se
é contínua em e é contínua em , então a composição é contínua em e vale .
Para usar esse teorema precisamos verificar que, porque só está definida e é contínua para argumentos positivos. Já calculamos , e . Logo todas as hipóteses estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicar o teorema e concluir o valor do limite:
Passo 5
Dicas práticas para provas (como resolver problemas semelhantes):
- Sempre identifique a função interna
e calcule . Se puder fazer a substituição direta (polinômios, racionais simplificáveis, exponenciais, senos, etc.), faça. - Verifique o domínio da função externa
(aqui ). Se estiver no domínio de , então . - Se
tende a um valor fora do domínio (por exemplo para ln), então o limite pode ser ou não existir; trate esses casos separadamente.
Exemplo rápido:porque a parte interna tende a e vai para .