Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 3} \ln \left(3 x^{2}+4 x-2\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 3}\ln\!\left(3x^{2}+4x-2\right).
Informações dadas:
  • A função dentro do logaritmo é g(x)=3x^{2}+4x-2.
  • O ponto onde a variável se aproxima é x=3.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Calcular o valor de g em x=3 (faça as contas passo a passo):
g(3)=3\cdot 3^{2}+4\cdot 3-2.
Primeiro calcule 3^{2}=9. Então
3\cdot 9=27,\qquad 4\cdot 3=12.
Somando e subtraindo:
g(3)=27+12-2=39-2=37.

Passo 3

Explicar por que podemos simplesmente substituir x=3 dentro do ln.
  • Polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Ou seja, \lim_{x\to 3}g(x)=g(3).
  • A função \ln(t) é contínua em todo o intervalo (0,\infty).
  • Existe um teorema simples: se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então a composição f\circ g é contínua em a e vale \lim_{x\to a}f(g(x))=f(g(a)).
    Para usar esse teorema precisamos verificar que g(3)>0, porque \ln só está definida e é contínua para argumentos positivos. Já calculamos g(3)=37, e 37>0. Logo todas as hipóteses estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicar o teorema e concluir o valor do limite:
\lim_{x\to 3}\ln\!\left(3x^{2}+4x-2\right)=\ln\!\bigl(g(3)\bigr)=\ln(37).

Passo 5

Dicas práticas para provas (como resolver problemas semelhantes):
  • Sempre identifique a função interna g(x) e calcule \lim_{x\to a}g(x). Se puder fazer a substituição direta (polinômios, racionais simplificáveis, exponenciais, senos, etc.), faça.
  • Verifique o domínio da função externa f (aqui f=\ln). Se \lim_{x\to a}g(x) estiver no domínio de f, então \lim_{x\to a}f(g(x))=f(\lim_{x\to a}g(x)).
  • Se \lim_{x\to a}g(x) tende a um valor fora do domínio (por exemplo 0^+ para ln), então o limite pode ser -\infty ou não existir; trate esses casos separadamente.
    Exemplo rápido: \lim_{x\to 0^{+}}\ln(x)=-\infty porque a parte interna tende a 0^{+} e \ln vai para -\infty.

Resposta

\ln(37)

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