Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}.
Informações dadas: a função é do tipo \left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{3x}. Observações úteis que já se vê pelo enunciado (sem resolver ainda):
  • À medida que x\to+\infty tem-se \dfrac{2}{x}\to0, então a base 1+\dfrac{2}{x}\to1.
  • O expoente 3x\to+\infty.
    Ou seja, temos a forma "base \to1" elevada a "expoente \to\infty". Esse tipo de limite costuma ser tratado tomando o logaritmo natural para transformar potência em produto.

Passo 2

Motivação do método (sem resolver ainda): quando aparece uma expressão do tipo f(x)^{g(x)} com f(x)>0, é prática padrão definir
y=f(x)^{g(x)}
e estudar \ln y = g(x)\ln f(x). Se o limite de \ln y existir e for igual a L, então, pela continuidade da função exponencial, o limite original é e^{L}. Vou usar exatamente isso aqui. Explico por quê: o logaritmo transforma potência em multiplicação, e multiplicações são mais fáceis de analisar usando limites (por exemplo usando L’Hôpital ou séries).

Passo 3

Aplicando o método ao nosso caso. Defina
y=\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = 3x\cdot \ln\!\left(1+\frac{2}{x}\right).
Reescrevo essa expressão de forma conveniente para aplicar um limite do tipo 0/0:
\ln y = 3\cdot \frac{\ln\!\left(1+\dfrac{2}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}.
Aqui usei que 3x = 3\big/\big(\tfrac{1}{x}\big), então escrevi o produto como uma razão para facilitar a aplicação de L’Hôpital ou substituição.

Passo 4

Calcular o limite de \ln y. Observe que quando x\to+\infty temos \dfrac{2}{x}\to0 e \dfrac{1}{x}\to0, então a razão
\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{2}{x}\right)}{\dfrac{1}{x}}
é do tipo \dfrac{0}{0}. Faço a mudança de variável t=\dfrac{1}{x}; então t\to0^+ quando x\to+\infty, e a razão fica
\frac{\ln(1+2t)}{t}\quad\text{com }t\to0^+.
Esse limite pode ser calculado por L’Hôpital (ou reconhecido como derivada no ponto t=0). Pelo critério de L’Hôpital:
  • derivada do numerador em relação a t é \dfrac{2}{1+2t},
  • derivada do denominador é 1.
    Portanto
\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+2t)}{t} = \lim_{t\to0^+}\frac{2}{1+2t} = \frac{2}{1+0} =2.
(Comentário pedagógico: também é possível usar a expansão em série \ln(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+\cdots. Substituindo u=2t \ln(1+2t)=2t+o(t), e então \dfrac{\ln(1+2t)}{t}\to2.)

Passo 5

Voltando para \ln y: como a razão anterior tende a 2, temos
\lim_{x\to+\infty}\ln y = 3\cdot 2 = 6.
Pelo teorema da continuidade da exponencial, se \ln y \to 6 então y \to e^{6}. Logo
\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x} = e^{6}.

Passo 6

Pequena intuição numérica (para motivar): e^{6} é um número grande, aproximadamente
e^{6}\approx 403{,}4288\ldots
Se tomar x grande (por exemplo x=1000), a expressão \left(1+\dfrac{2}{1000}\right)^{3000} já estará bem próxima desse valor, o que confirma a resposta encontrada.

Resposta

e^{6}

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