Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a função é do tipo
. Observações úteis que já se vê pelo enunciado (sem resolver ainda):
- À medida que
tem-se , então a base . - O expoente
.
Ou seja, temos a forma "base" elevada a "expoente ". Esse tipo de limite costuma ser tratado tomando o logaritmo natural para transformar potência em produto.
Passo 2
Motivação do método (sem resolver ainda): quando aparece uma expressão do tipo
com
, é prática padrão definir
e estudar
. Se o limite de
existir e for igual a
, então, pela continuidade da função exponencial, o limite original é
. Vou usar exatamente isso aqui. Explico por quê: o logaritmo transforma potência em multiplicação, e multiplicações são mais fáceis de analisar usando limites (por exemplo usando L’Hôpital ou séries).
Passo 3
Aplicando o método ao nosso caso. Defina
Tomando logaritmo natural em ambos os lados:
Reescrevo essa expressão de forma conveniente para aplicar um limite do tipo
:
Aqui usei que
, então escrevi o produto como uma razão para facilitar a aplicação de L’Hôpital ou substituição.
Passo 4
Calcular o limite de
. Observe que quando
temos
e
, então a razão
é do tipo
. Faço a mudança de variável
; então
quando
, e a razão fica
Esse limite pode ser calculado por L’Hôpital (ou reconhecido como derivada no ponto
). Pelo critério de L’Hôpital:
- derivada do numerador em relação a
é , - derivada do denominador é
.
Portanto
(Comentário pedagógico: também é possível usar a expansão em série
. Substituindo
dá
, e então
.)
Passo 5
Voltando para
: como a razão anterior tende a
, temos
Pelo teorema da continuidade da exponencial, se
então
. Logo
Passo 6
Pequena intuição numérica (para motivar):
é um número grande, aproximadamente
Se tomar
grande (por exemplo
), a expressão
já estará bem próxima desse valor, o que confirma a resposta encontrada.