Calcule os seguintes limites:
9. lim x +infty x^32(raizx^3+1-raizx^3-1).

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando x^32 ( raizx^3 + 1 - raizx^3 - 1 ) tende a mais infinito da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites envolvendo funções de raiz e potências. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar o comportamento quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a diferença das raízes. Para isso, vamos usar a técnica de racionalização, ou seja, multiplicar e dividir pela soma das raízes. Assim:
raizx^3 + 1 - raizx^3 - 1 = (raizx^3 + 1 - raizx^3 - 1)(raizx^3 + 1 + raizx^3 - 1)raizx^3 + 1 + raizx^3 - 1
Isso simplifica para:
(x^3 + 1) - (x^3 - 1)raizx^3 + 1 + raizx^3 - 1 = 2raizx^3 + 1 + raizx^3 - 1

Passo 3

Agora, substituímos de volta na expressão original:
x^32 cdot 2raizx^3 + 1 + raizx^3 - 1
Quando x^32 cdot 22x^32 = x^32 cdot 1x^32 = 1 tende a infinito, e são aproximadamente iguais a . Então, a soma das raízes fica aproximadamente . Substituindo:

Resposta

O limite é igual a .

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