Calcule os seguintes limites: lim x +infty(2 x-raizx^2-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente está trabalhando com limites, que é um tópico de cálculo que ajuda a entender o comportamento das funções quando a variável se aproxima de certo valor. Para resolver isso, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e encontrar o valor que ela se aproxima quando cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão dentro do limite: raizx^2 - x = raizx^2(1 - 1x) = xraiz1 - 1x . Quando vai para o infinito, domina sobre , então podemos simplificar a raiz. Vamos fatorar dentro da raiz:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação de volta na expressão original:
2x - xraiz1 - 1x = x(2 - raiz1 - 1x)

Passo 4

Para facilitar, vamos expandir raiz1 - 1x approx 1 - 12x usando a aproximação para grande. Sabemos que, para pequeno, . Aqui, , que fica pequeno conforme cresce.

Passo 5

Substituindo essa aproximação na expressão:
x(2 - (1 - 12x)) = x(2 - 1 + 12x) = x(1 + 12x)

Passo 6

Distribuindo o x cdot 1 + x cdot 12x = x + 12 :

Passo 7

Agora, vamos analisar o comportamento quando limx to +infty (x + 12) = +infty vai para o infinito:

Resposta

O limite é .

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