Nos itens abaixo, determine partial fpartial x e partial fpartial y.
f(x, y)=integralx^y g(t) d t,(g contínua )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função , onde é uma função contínua. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e o Teorema Fundamental do Cálculo que liga integrais e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender partial fpartial x = -g(x) . Aqui, queremos ver como muda quando a variável muda, mantendo fixo. Observe que está no limite inferior da integral. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, quando derivamos uma integral com um limite variável, a derivada é igual a menos a função avaliada nesse limite. Então, temos:
Isso porque o limite inferior contribui negativamente para a variação da integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular partial fpartial y = g(y) . Aqui, queremos saber como muda quando muda, mantendo fixo. Desta vez, está no limite superior da integral. Novamente, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral com o limite superior variável é simplesmente a função avaliada nesse limite. Assim, temos:
Isso porque o limite superior adiciona diretamente à variação da integral.

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = -g(x) e partial fpartial y = g(y)

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