Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2} 2 x}{x}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2(2x)}{x}.
O conteúdo aqui é limite de funções envolvendo \sin, e vamos usar o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a aparecer o quociente \sin(2x)/(2x):
\frac{\sin^2(2x)}{x} =\biggl(\frac{\sin(2x)}{2x}\biggr)^{2}\,\frac{4x^2}{x} =4x\biggl(\frac{\sin(2x)}{2x}\biggr)^{2}.

Passo 3

Ao fazermos x\to0, vale
\lim_{x\to0}\frac{\sin(2x)}{2x}=1,
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\lim_{x\to0}4x\biggl(\frac{\sin(2x)}{2x}\biggr)^{2} =4\cdot0\cdot1^{2}=0.

Resposta

0

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