A função I: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, conhecida como parte inteira de x, é definida da seguinte forma: para cada x \in \mathbb{R}, considere o único inteiro n tal que n \leq x<n+1; põe-se I(x)=n. Estude o limite \lim _{x \rightarrow a} I(x), para a \in \mathbb{R}. Esboce o gráfico de I, isto ajudará na análise.

Passo 1

O enunciado pede para estudar
\lim_{x\to a}I(x)
onde I(x) é a parte inteira (floor) de x, ou seja, para cada x\in\mathbb{R} existe um inteiro n tal que
n \le x < n+1
e definimos I(x)=n.
O conteúdo aqui é análise de limites, em particular limites laterais em pontos de descontinuidade. Para visualizar, o gráfico de I é um “degrau” em cada inteiro.

Passo 2

Suponha a\notin\mathbb{Z}. Então existe um inteiro n tal que
n < a < n+1.
Como I(x)=n para todo x em um pequeno intervalo ao redor de a, temos que
\lim_{x\to a}I(x)=n=I(a).
Ou seja, para não-inteiros, I é constante localmente e o limite existe.

Passo 3

Agora suponha a=m\in\mathbb{Z}. Então para x<m suficientemente próximo de m vale I(x)=m-1, e para x>m próximo de m vale I(x)=m. Logo
\lim_{x\to m^-}I(x)=m-1, \qquad \lim_{x\to m^+}I(x)=m.
Como esses dois não coincidem, o limite \lim_{x\to m}I(x) não existe.

Passo 4

Resumo dos resultados:
  • Se a\notin\mathbb{Z}, então
    \displaystyle\lim_{x\to a}I(x)=I(a).
  • Se a\in\mathbb{Z}, então \displaystyle\lim_{x\to a}I(x) não existe, pois há salto de m-1 para m.

Passo 5

Esboço do gráfico de I:
Em cada intervalo [n,n+1) traçamos uma reta horizontal à altura n, com ponto fechado em x=n e aberto em x=n+1. Em x=n+1 começa um novo degrau em n+1. Isso mostra saltos unitários em cada inteiro.

Resposta

Para a\notin\mathbb{Z}:
\lim_{x\to a}I(x)=I(a).
Para a\in\mathbb{Z}:
\lim_{x\to a}I(x) não existe, pois
\lim_{x\to a^-}I(x)=a-1 e \lim_{x\to a^+}I(x)=a.

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