A função
, conhecida como parte inteira de
, é definida da seguinte forma: para cada
, considere o único inteiro
tal que
; põe-se
. Estude o limite
, para
. Esboce o gráfico de
, isto ajudará na análise.
Passo 1
O enunciado pede para estudar
onde
é a parte inteira (floor) de
, ou seja, para cada
existe um inteiro
tal que
e definimos
.
O conteúdo aqui é análise de limites, em particular limites laterais em pontos de descontinuidade. Para visualizar, o gráfico de é um “degrau” em cada inteiro.
O conteúdo aqui é análise de limites, em particular limites laterais em pontos de descontinuidade. Para visualizar, o gráfico de
Passo 2
Suponha
. Então existe um inteiro
tal que
Como
para todo
em um pequeno intervalo ao redor de
, temos que
Ou seja, para não-inteiros,
é constante localmente e o limite existe.
Passo 3
Agora suponha
. Então para
suficientemente próximo de
vale
, e para
próximo de
vale
. Logo
Como esses dois não coincidem, o limite
não existe.
Passo 4
Resumo dos resultados:
- Se
, então
. - Se
, então não existe, pois há salto de para .
Passo 5
Esboço do gráfico de
:
Em cada intervalo traçamos uma reta horizontal à altura
, com ponto fechado em
e aberto em
. Em
começa um novo degrau em
. Isso mostra saltos unitários em cada inteiro.
Em cada intervalo
Resposta
Para
:
Para
:
não existe, pois
e
.