Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}^{2} 2 x}{x^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}^2(2x)}{x^2}.
O conteúdo aqui é limite de função trigonométrica, e vamos usar a propriedade fundamental
\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a inserir o quociente \operatorname{sen}(u)/u:
\frac{\operatorname{sen}^2(2x)}{x^2} =\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(2x)}{x}\Bigr)^2 =\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\cdot2\Bigr)^2.

Passo 3

Aplicamos o limite usando \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}=1:
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}^2(2x)}{x^2} =\lim_{x\to0}\Bigl(\frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}\cdot2\Bigr)^2 =(1\cdot2)^2 =4.

Resposta

4

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