Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a}.
Isso envolve indeterminação do tipo 0/0 e vamos usar a técnica de racionalização de expressões com raízes.

Passo 2

Verificamos a forma da expressão quando x\to a: \sqrt{x}\to\sqrt{a}, logo o numerador vai a 0 e o denominador x-a também vai a 0. Temos, portanto, uma indeterminação do tipo 0/0, o que justifica o uso de um truque algébrico para simplificar.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x}+\sqrt{a}:
\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} \;\times\; \frac{\sqrt{x}+\sqrt{a}}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} = \frac{x - a}{(x - a)\,(\sqrt{x}+\sqrt{a})} = \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}.

Passo 4

Agora substituímos x=a na expressão simplificada, que já não é indeterminada:
\lim_{x\to a}\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} =\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a}} =\frac{1}{2\sqrt{a}}.

Resposta

\lim_{x\to a}\frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} =\frac{1}{2\sqrt{a}}.

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