Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{100}-2 x+1}{x^{50}-2 x+1}\

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1}.
Este é um problema de cálculo de limites envolvendo indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos verificar a indeterminação e, em seguida, aplicar o Teorema de L’Hôpital, que diz que se ao substituir x=1 obtemos 0/0, então
\lim_{x\to1}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to1}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do quociente das derivadas exista.

Passo 2

Verificamos a indeterminação pela substituição direta x=1:
\text{numerador} = 1^{100}-2\cdot1+1 = 1-2+1 = 0, \quad \text{denominador} = 1^{50}-2\cdot1+1 = 1-2+1 = 0.
Logo, temos realmente \tfrac{0}{0} e podemos usar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{100}-2x+1\bigr) = 100\,x^{99}-2, \quad \frac{d}{dx}\bigl(x^{50}-2x+1\bigr) = 50\,x^{49}-2.
Pelo Teorema de L’Hôpital,
\lim_{x\to1}\frac{x^{100}-2x+1}{x^{50}-2x+1} = \lim_{x\to1}\frac{100\,x^{99}-2}{50\,x^{49}-2}.

Passo 4

Agora substituímos x=1 no quociente das derivadas:
\frac{100\cdot1^{99}-2}{50\cdot1^{49}-2} = \frac{100-2}{50-2} = \frac{98}{48} = \frac{49}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{49}{24}

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