Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite lateral
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto de aproximação é
, pela esquerda (isso significa que se aproxima de com ). - Note que a expressão não está definida em
(denominador zero), então esperamos um comportamento de divergência ou infinito.
Passo 2
Analisemos o numerador quando
se aproxima de
. Funções polinomiais são contínuas, então basta substituir:
Isso significa que, para
suficientemente perto de
, o numerador fica próximo de
e, em particular, é positivo e permanece afastado de zero (por exemplo, entre
e
).
Passo 3
Agora o denominador. Considere
. Quando
temos
(ou seja,
é um número pequeno e negativo). O denominador é
. Como o quadrado elimina o sinal,
Além disso,
para
, então o denominador tende para
através de valores positivos (ou seja, tende para
).
Passo 4
Combinação das informações: o numerador tende para a constante positiva
e o denominador tende para
. Frações com numerador não nulo e denominador tendendo a zero positivo têm valor cuja magnitude cresce sem limite e mantém sinal positivo. Assim, intuitivamente o quociente tende para
.
Para deixar mais rigoroso: escolha
tal que, se
então
, isto é,
. Para tais
(com
) vale
Como
quando
, segue por comparação que
Passo 5
Interpretação final: ao nos aproximarmos de
pela esquerda, o denominador fica arbitrariamente pequeno e positivo enquanto o numerador fica próximo de
; portanto a razão cresce sem limite e tende para
.