Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{x+2}{(x-4)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite lateral
\lim_{x\to 4^-}\frac{x+2}{(x-4)^2}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é \dfrac{x+2}{(x-4)^2}.
  • O ponto de aproximação é x=4, pela esquerda (isso significa que x se aproxima de 4 com x<4).
  • Note que a expressão não está definida em x=4 (denominador zero), então esperamos um comportamento de divergência ou infinito.

Passo 2

Analisemos o numerador quando x se aproxima de 4. Funções polinomiais são contínuas, então basta substituir:
\lim_{x\to 4^-}(x+2)=4+2=6.
Isso significa que, para x suficientemente perto de 4, o numerador fica próximo de 6 e, em particular, é positivo e permanece afastado de zero (por exemplo, entre 5 e 7).

Passo 3

Agora o denominador. Considere t=x-4. Quando x\to 4^- temos t\to 0^- (ou seja, t é um número pequeno e negativo). O denominador é t^2. Como o quadrado elimina o sinal,
\lim_{x\to 4^-}(x-4)^2=\lim_{t\to 0^-}t^2=0.
Além disso, t^2>0 para t\neq 0, então o denominador tende para 0 através de valores positivos (ou seja, tende para 0^+).

Passo 4

Combinação das informações: o numerador tende para a constante positiva 6 e o denominador tende para 0^+. Frações com numerador não nulo e denominador tendendo a zero positivo têm valor cuja magnitude cresce sem limite e mantém sinal positivo. Assim, intuitivamente o quociente tende para +\infty.
Para deixar mais rigoroso: escolha \delta>0 tal que, se |x-4|<\delta então |x+2-6|<1, isto é, 5<x+2<7. Para tais x (com x\neq4) vale
\frac{x+2}{(x-4)^2}>\frac{5}{(x-4)^2}.
Como \dfrac{5}{(x-4)^2}\to+\infty quando x\to4, segue por comparação que
\frac{x+2}{(x-4)^2}\to+\infty\quad\text{quando }x\to4^-.

Passo 5

Interpretação final: ao nos aproximarmos de 4 pela esquerda, o denominador fica arbitrariamente pequeno e positivo enquanto o numerador fica próximo de 6>0; portanto a razão cresce sem limite e tende para +\infty.

Resposta

+\infty

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