Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 6} \frac{x^{2}-36}{2 x-12}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 6}\frac{x^{2}-36}{2x-12}.
Informações que temos:
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{x^{2}-36}{2x-12}.
  • O ponto de interesse é x\to 6.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Tento primeiro a substituição direta de x=6 para ver que tipo de situação aparece:
\text{numerador} = 6^{2}-36 = 36-36 = 0,
\text{denominador} = 2\cdot6-12 = 12-12 = 0.
Como obtemos 0/0, a forma é indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição; é preciso manipular a expressão algébrica antes de avaliar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar e simplificar a expressão. Reconheço que o numerador é uma diferença de quadrados:
x^{2}-36=(x-6)(x+6).
O denominador pode ser fatorado por 2:
2x-12=2(x-6).
Portanto, para x\neq 6 (que é o caso relevante ao avaliar o limite), a fração pode ser simplificada cancelando o fator comum (x-6):
\frac{x^{2}-36}{2x-12}=\frac{(x-6)(x+6)}{2(x-6)}=\frac{x+6}{2}\quad\text{(para \(x\neq 6\))}.
Obs.: é permitido cancelar porque o limite considera valores de x próximos de 6, mas não necessariamente iguais a 6.

Passo 4

Agora uso a função simplificada \dfrac{x+6}{2}. Essa função é contínua em x=6, então o limite quando x\to 6 é simplesmente o valor da função em x=6. Faço a substituição:
\lim_{x\rightarrow 6}\frac{x+6}{2}=\frac{6+6}{2}=\frac{12}{2}=6.
Logo o limite pedido é 6.

Passo 5

Resumo do método (dica para a prova): quando a substituição direta dá 0/0, tente fatorar (diferença de quadrados, fator comum, trinômio etc.) e simplificar cancelando fatores que causam a indeterminação. Depois avalie o limite da expressão simplificada. Exemplo rápido de reforço: \lim_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=\lim_{x\to 3}\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=\lim_{x\to 3}(x+3)=6.

Resposta

6

Exercícios relacionados