Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x+x^{2}+\ldots+x^{n}-n}{x-1}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1}.
O conteúdo envolve limites na forma indeterminada \tfrac{0}{0} e a aplicação da regra de L’Hôpital (ou, equivalentemente, expansão em série de Taylor de ordem 1). Vamos usar a regra de L’Hôpital, que exige derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos que ao substituir x=1 no numerador temos
1 + 1 + \dots + 1 - n = n - n = 0
e no denominador
1 - 1 = 0.
Logo, o limite está na forma \tfrac{0}{0}, o que justifica o uso da regra de L’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de L’Hôpital, o limite original se transforma no limite do quociente das derivadas:
\lim_{x\to1} \frac{x + x^2 + \dots + x^n - n}{x - 1} = \lim_{x\to1} \frac{\dfrac{d}{dx}\bigl(x + x^2 + \dots + x^n - n\bigr)}{\dfrac{d}{dx}(x - 1)}.

Passo 4

A derivada de x^k é k\,x^{k-1} e a derivada de -n é zero. Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(x + x^2 + \dots + x^n - n\bigr) = \sum_{k=1}^{n} k\,x^{k-1},
enquanto
\frac{d}{dx}(x - 1) = 1.

Passo 5

Bastam avaliar as derivadas em x=1:
\lim_{x\to1} \sum_{k=1}^{n} k\,x^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} k \cdot 1^{k-1} = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}

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