Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\left(x^{2}-x-2\right)^{20}}{\left(x^{3}-12 x+16\right)^{10}}\

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to 2}\frac{\bigl(x^{2}-x-2\bigr)^{20}}{\bigl(x^{3}-12x+16\bigr)^{10}}.
O conteúdo aqui é manipular fatores que se anulam em x=2 e simplificar a expressão antes de substituir.

Passo 2

Fatoramos o numerador:
x^{2}-x-2 = (x-2)(x+1).
Logo,
\bigl(x^{2}-x-2\bigr)^{20} = (x-2)^{20}\,(x+1)^{20}.

Passo 3

Fatoramos o denominador. Como
x^{3}-12x+16 = (x-2)(x^{2}+2x-8)
e x^{2}+2x-8=(x-2)(x+4), segue
x^{3}-12x+16 = (x-2)^{2}(x+4).
Portanto
\bigl(x^{3}-12x+16\bigr)^{10} = (x-2)^{20}\,(x+4)^{10}.

Passo 4

Dividindo numerador e denominador por (x-2)^{20}, obtemos
\frac{\bigl(x^{2}-x-2\bigr)^{20}}{\bigl(x^{3}-12x+16\bigr)^{10}} = \frac{(x+1)^{20}}{(x+4)^{10}}.

Passo 5

Agora basta substituir x=2:
\frac{(2+1)^{20}}{(2+4)^{10}} = \frac{3^{20}}{6^{10}} = \frac{3^{20}}{(2\cdot3)^{10}} = \frac{3^{20}}{2^{10}3^{10}} = \biggl(\frac{3}{2}\biggr)^{10}.

Resposta

\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{10}

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