Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-2} 3^{x^{2}+6 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow -2} 3^{x^{2}+6x+2}.
Informações importantes dadas:
  • A expressão é uma potência com base constante 3 e expoente que é o polinômio x^{2}+6x+2.
  • Queremos o valor quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Ideia-chave (regra que vamos usar): polinômios são funções contínuas e, para base fixa a>0, a função y\mapsto a^{y} também é contínua. A composição de funções contínuas é contínua. Isso significa que, se o expoente tende a um número L quando x\to -2, então a potência tende a 3^{L}. Em provas, costuma-se usar a propriedade de substituição: se f e g são contínuas e queremos \lim_{x\to c} f(g(x)), então vale \lim_{x\to c} f(g(x))=f\big(\lim_{x\to c} g(x)\big).

Passo 3

Calcular o limite do expoente diretamente por substituição (já que é um polinômio):
\lim_{x\to -2} (x^{2}+6x+2) = (-2)^{2} + 6(-2) + 2.
Fazendo as contas passo a passo:
(-2)^{2}=4,\qquad 6(-2)=-12,
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4-12+2 = 4-10 = -6.
Portanto o expoente tende a -6.

Passo 4

Pela continuidade da exponenciação com base 3, o limite da composição é
\lim_{x\to -2} 3^{x^{2}+6x+2} = 3^{-6}.
Reescrevendo 3^{-6} como fração:
3^{-6}=\frac{1}{3^{6}}.

Passo 5

Calcular 3^{6} passo a passo para obter a forma numérica:
3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81,\quad 3^{5}=243,\quad 3^{6}=729.
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\frac{1}{3^{6}}=\frac{1}{729}.

Resposta

\dfrac{1}{729}

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