Exercício 2.27. Qual axioma de ZFC permite obter o menor conjunto indutivo a partir de um conjunto indutivo arbitrário? Explique o argumento conceitual.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir de um conjunto indutivo arbitrário, se obtenha o menor conjunto indutivo contido nele. O que nos é dado e o que se pede:
  • Dado: um conjunto I que é indutivo, isto é, satisfaz \varnothing\in I \qquad\text{e}\qquad \forall x\,(x\in I\Rightarrow x\cup\{x\}\in I).
  • Pedido: construir (e justificar a existência de) o menor conjunto indutivo contido em I — isto é, um conjunto M\subseteq I que seja indutivo e que esteja contido em qualquer outro conjunto indutivo que esteja contido em I.

Passo 2

Ideia conceitual simples (sem formalizar ainda): tomar a interseção de todos os subconjuntos de I que são indutivos. Essa interseção é intuitivamente o menor conjunto indutivo dentro de I, porque contém exatamente os elementos que pertencem a todo subconjunto indutivo de I.

Passo 3

Formalizar a família cujos elementos serão intersectados. Defina a propriedade que diz que um conjunto X é um subconjunto indutivo de I:
\Phi(X)\equiv (X\subseteq I)\wedge\bigl(\varnothing\in X\bigr)\wedge\forall z\,(z\in X\Rightarrow z\cup\{z\}\in X).
A família que queremos é \mathcal{S}=\{X\mid \Phi(X)\}. Note que \mathcal{S} é a classe (definível) de todos os subconjuntos de I que são indutivos.

Passo 4

Problema técnico padrão da teoria de conjuntos: a interseção de uma classe arbitrária de conjuntos pode não ser um conjunto; mas aqui todos os membros de \mathcal{S} são subconjuntos de I. Logo, a interseção dos elementos de \mathcal{S} vai estar contida em I, e portanto pode ser definida como um subconjunto de I usando o esquema (axioma) apropriado. Especificamente, usamos o Axioma (Esquema) da Separação (também chamado Especificação/Aussonderung): ele permite formar, a partir de um conjunto já existente I, o subconjunto dos elementos de I que satisfazem uma fórmula paramétrica qualquer.
Aplicando Separação com a fórmula “ \forall X(\Phi(X)\Rightarrow y\in X)” obtemos o conjunto
M=\{\,y\in I \mid \forall X\;(\Phi(X)\Rightarrow y\in X)\,\}.
Em palavras: M é o conjunto dos elementos de I que pertencem a todo subconjunto indutivo de I. A utilização do esquema de Separação é exatamente o que garante que M seja um conjunto (porque é um subconjunto de I definido por uma propriedade).

Passo 5

Verificar que M é indutivo. Duas checagens:
  • \varnothing\in M: como I é indutivo, \varnothing pertence a todo X que satisfaça \Phi(X); portanto \varnothing satisfaz a propriedade de pertença a todo membro de \mathcal{S}, então \varnothing\in M.
  • Fechamento por sucessor: tome a\in M. Por definição, a pertence a todo X com \Phi(X). Mas cada tal X é indutivo, logo contém a\cup\{a\}. Assim a\cup\{a\} pertence a todo X com \Phi(X), portanto a\cup\{a\}\in M.
Logo M é indutivo.

Passo 6

Verificar minimalidade de M entre subconjuntos indutivos de I. Seja Y qualquer conjunto com \Phi(Y) (isto é, Y\subseteq I e Y indutivo). Por definição de M todo elemento de M pertence a todo X com \Phi(X), em particular pertence a Y. Portanto M\subseteq Y. Assim M é contido em qualquer subconjunto indutivo de I: é o menor.

Passo 7

Observações finais e papel de outros axiomas: para que exista um conjunto indutivo inicial (isto é, para que exista algum I do qual partir) usa-se o Axioma da Infinidade. Mas a passagem de um conjunto indutivo I qualquer para o menor indutivo contido nele usa essencialmente o Esquema da Separação. Não é preciso invocar outros axiomas fortes (como Substituição/Replacement) para esse passo concreto.

Resposta

O Axioma (Esquema) da Separação (Especificação): aplicando Separação em um conjunto indutivo I com a propriedade "pertence a todo subconjunto indutivo de I" obtém-se o menor conjunto indutivo contido em I.

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