Exercício 2.27. Qual axioma de ZFC permite obter o menor conjunto indutivo a partir de um conjunto indutivo arbitrário? Explique o argumento conceitual.
Passo 1
O enunciado pede que, a partir de um conjunto indutivo arbitrário, se obtenha o menor conjunto indutivo contido nele. O que nos é dado e o que se pede:
- Dado: um conjunto
que é indutivo, isto é, satisfaz - Pedido: construir (e justificar a existência de) o menor conjunto indutivo contido em
— isto é, um conjunto que seja indutivo e que esteja contido em qualquer outro conjunto indutivo que esteja contido em .
Passo 2
Ideia conceitual simples (sem formalizar ainda): tomar a interseção de todos os subconjuntos de
que são indutivos. Essa interseção é intuitivamente o menor conjunto indutivo dentro de
, porque contém exatamente os elementos que pertencem a todo subconjunto indutivo de
.
Passo 3
Formalizar a família cujos elementos serão intersectados. Defina a propriedade que diz que um conjunto
é um subconjunto indutivo de
:
A família que queremos é
. Note que
é a classe (definível) de todos os subconjuntos de
que são indutivos.
Passo 4
Problema técnico padrão da teoria de conjuntos: a interseção de uma classe arbitrária de conjuntos pode não ser um conjunto; mas aqui todos os membros de
são subconjuntos de
. Logo, a interseção dos elementos de
vai estar contida em
, e portanto pode ser definida como um subconjunto de
usando o esquema (axioma) apropriado. Especificamente, usamos o Axioma (Esquema) da Separação (também chamado Especificação/Aussonderung): ele permite formar, a partir de um conjunto já existente
, o subconjunto dos elementos de
que satisfazem uma fórmula paramétrica qualquer.
Aplicando Separação com a fórmula “
” obtemos o conjunto
Em palavras:
é o conjunto dos elementos de
que pertencem a todo subconjunto indutivo de
. A utilização do esquema de Separação é exatamente o que garante que
seja um conjunto (porque é um subconjunto de
definido por uma propriedade).
Passo 5
Verificar que
é indutivo. Duas checagens:
-
: como é indutivo, pertence a todo que satisfaça ; portanto satisfaz a propriedade de pertença a todo membro de , então . - Fechamento por sucessor: tome
. Por definição, pertence a todo com . Mas cada tal é indutivo, logo contém . Assim pertence a todo com , portanto .
Logo
é indutivo.
Passo 6
Verificar minimalidade de
entre subconjuntos indutivos de
. Seja
qualquer conjunto com
(isto é,
e
indutivo). Por definição de
todo elemento de
pertence a todo
com
, em particular pertence a
. Portanto
. Assim
é contido em qualquer subconjunto indutivo de
: é o menor.
Passo 7
Observações finais e papel de outros axiomas: para que exista um conjunto indutivo inicial (isto é, para que exista algum
do qual partir) usa-se o Axioma da Infinidade. Mas a passagem de um conjunto indutivo
qualquer para o menor indutivo contido nele usa essencialmente o Esquema da Separação. Não é preciso invocar outros axiomas fortes (como Substituição/Replacement) para esse passo concreto.
Resposta
O Axioma (Esquema) da Separação (Especificação): aplicando Separação em um conjunto indutivo
com a propriedade "pertence a todo subconjunto indutivo de
" obtém-se o menor conjunto indutivo contido em
.