Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite quando
tende a
da expressão
Informações dadas: a função envolvida é
e estamos interessados em
dessa expressão. A pergunta é: qual é esse valor limite?
Passo 2
Primeira observação (tipo de indeterminação). Quando
temos
, ou seja
, enquanto o fator
. Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Uma técnica padrão para esse tipo de produto é transformar em uma razão conveniente — aqui vamos usar a multiplicação pelo conjugado da raiz para simplificar a diferença
.
Passo 3
Multiplicamos e dividimos por
(o conjugado) para eliminar a raiz no numerador:
No numerador usamos a identidade
. Aplicando com
e
obtemos
Logo a expressão simplifica para
Passo 4
Agora simplificamos essa razão dividindo numerador e denominador por
(positivo para
, logo não mudamos sinais):
Agora aplicamos limite. Quando
temos
. A função
é contínua em
, portanto
Assim pelo limite da razão,
Passo 5
Intuição alternativa (opcional, para fixar a ideia): podemos também escrever
Então
o que também aponta para o limite
.