Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite quando x tende a +\infty da expressão
x\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big).
Informações dadas: a função envolvida é x\mapsto x\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big) e estamos interessados em \lim_{x\to+\infty} dessa expressão. A pergunta é: qual é esse valor limite?

Passo 2

Primeira observação (tipo de indeterminação). Quando x\to+\infty temos \sqrt{x^{2}+1}\sim x, ou seja \sqrt{x^{2}+1}-x\to0, enquanto o fator x\to+\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \infty\cdot 0. Uma técnica padrão para esse tipo de produto é transformar em uma razão conveniente — aqui vamos usar a multiplicação pelo conjugado da raiz para simplificar a diferença \sqrt{x^{2}+1}-x.

Passo 3

Multiplicamos e dividimos por \sqrt{x^{2}+1}+x (o conjugado) para eliminar a raiz no numerador:
x\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big) = x\cdot\frac{\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big)\big(\sqrt{x^{2}+1}+x\big)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.
No numerador usamos a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Aplicando com a=\sqrt{x^{2}+1} e b=x obtemos
\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big)\big(\sqrt{x^{2}+1}+x\big) = (\sqrt{x^{2}+1})^{2}-x^{2}=x^{2}+1-x^{2}=1.
Logo a expressão simplifica para
x\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x}.

Passo 4

Agora simplificamos essa razão dividindo numerador e denominador por x (positivo para x\to+\infty, logo não mudamos sinais):
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}+x} =\frac{x}{x\big(\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1\big)} =\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1}.
Agora aplicamos limite. Quando x\to+\infty temos \tfrac{1}{x^{2}}\to0. A função t\mapsto\sqrt{1+t} é contínua em t=0, portanto
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}=\sqrt{1+0}=1.
Assim pelo limite da razão,
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Intuição alternativa (opcional, para fixar a ideia): podemos também escrever
\sqrt{x^{2}+1}=x\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}=x\Big(1+\tfrac{1}{2x^{2}}+o\big(\tfrac{1}{x^{2}}\big)\Big) = x+\tfrac{1}{2x}+o\big(\tfrac{1}{x}\big).
Então
x\big(\sqrt{x^{2}+1}-x\big)=x\Big(\tfrac{1}{2x}+o\big(\tfrac{1}{x}\big)\Big)=\tfrac{1}{2}+o(1),
o que também aponta para o limite \tfrac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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